§ 1
EXERCICES
TS II.275
31) Soit r 1 un entier. On note S (T
r ) l’espace vectoriel complexe des
fonctions indéfiniment dérivables sur T
r , et S (Z
r ) l’espace vectoriel complexe des fonctions f : Z
r → C telles que, pour tout réel A > 0, on a
f (n) = O(n
−A ) quand n → +∞.
a) Muni des semi-normes
p A (f ) = sup
n∈Z r
n
A |f (n)|,
l’espace S (Z
r ) est un espace de Fréchet.
b) Pour tout réel p ∈ [1, +∞[, l’espace S (Z
r ) (resp. l’espace S (T
r )) est
dense dans L
p (Z
r ) (resp. dans L
p (T
r )).
c) La restriction de la transformation de Fourier de T
r à S (T
r ) est un
isomorphisme de S (T
r ) dans S (Z
r ), dont l’inverse est la restriction de la
cotransformation de Fourier.
d) L’espace vectoriel topologique S (Z
r ) est isomorphe à S (R
n ), en particulier c’est un espace de Montel. (Utiliser l’exercice 3.)
32) Soit G un groupe abélien fini. On munit G de la mesure de Haar de
masse totale 1.
a) Montrer que si f est non nulle, alors
Card(Supp(f )) Card(Supp(
f )) Card(G)
(« Principe d’incertitude » ; noter que
f ∞
1
Card(G)
x∈G
|f (x)|
et appliquer l’inégalité de Cauchy-Schwarz et la formule de Plancherel.)
b) Déterminer les cas d’égalité.
33) Pour tout entier r 1, on note V r = det((x
j
i ) 1ir
0j ) ∈ Z[x 1 , . . . , x r ] le
déterminant de Vandermonde (A, III, p. 99, exemple 1).
a) Soient f 1 , . . . , f r des fonctions indéfiniment différentiables sur R. Pour
tous nombres réels x 1 < · · · < x r , il existe des nombres réels (t 0 , . . . , t r−1 )
dans [x 1 , x r ] tels que
det(f i (x j )) =
1
1!2! · · · (r − 1)!
V r (x 1 , . . . , x r ) det((f
(i)
j (t i )) 1ir
0j )
(cf. FVR, I, p. 48, exerc. 11).
b) Soient r un entier positif et m 1 , . . . , m r des nombres entiers positifs. Soit
∆ r = det((x
mj
i ) 1i,jr ) ∈ Z[x 1 , . . . , x r ].
Le polynôme ∆ r est divisible par V r dans Z[x 1 , . . . , x r ]. On note F r = ∆ r /V r .