TS II.274
EXERCICES
§ 1
quand |y| → +∞. (Montrer d’abord qu’il existe une suite sommable décroissante ( n ) de nombres réels strictement positifs telle que r et
n eδ(n)n
−1 pour tout n assez grand.)
29) Soit f ∈ L
2 (R) tel que
R
|f (x)|
2 e
x
2
dx 1,
R
|
f (y)|
2 e
y
2
dy 1.
a) Pour tout entier n ∈ N, la fonction g n définie par
g n (z) =
R
f (x)x
n exp(−zx
2 /2)dx
2
est holomorphe dans l’ouvert U = {z ∈ C | R(z) > −1} de C.
b) Pour tout entier n ∈ N, la fonction h n définie par
h n (z) =
(−1)
n
z 2n+1
R
f (y)y
n exp(−y
2 /(2z))dy
2
est holomorphe dans l’ouvert V = {z ∈ C | R(z
−1 ) > −1} = {z ∈ C |
|z + 1/2| > 1/2} de C.
c) Il existe une fonction holomorphe k 0 dans U ∪ V = C {−1} telle que
k 0 |U = g 0 et k 0 |V = h 0 .
d) La fonction k 0 est nulle. (Démontrer qu’il existe c ∈ C tel que |k 0 (z)|
c/|z + 1| pour tout z ∈ C {−1} et appliquer le théorème de Liouville à
z → (z + 1)k 0 (z).)
e) Montrer par récurrence sur n ∈ N qu’il existe une fonction holomorphe
k n dans U∪V = C {−1} telle que k n |U = g n et k n |V = h n , puis que k n = 0.
f ) On a f = 0.
g) Soient a, b > 0 tels que ab 1. Si f ∈ L
2 (R) vérifie
R
|f (x)|
2 e
ax
2
dx < +∞,
R
|
f (y)|
2 e
by
2
dy < +∞,
alors f = 0 (« Principe d’incertitude de Hardy »).
30) a) Pour tout x 0 ∈ T, il existe f ∈ C (T) tel que la série de Fourier de f
en x 0 ne converge pas symétriquement vers f (x 0 ). (Soient s n (f ) les sommes
partielles symétriques de la série de Fourier de f ; considérer les applications
linéaires f → s n (f )(x 0 ) et appliquer le théorème de Banach-Steinhaus.)
b) Il existe f ∈ L
1 (T) tel que la série de Fourier de f ne converge pas
symétriquement vers f dans L
1 (T).
c) La transformation de Fourier n’est pas surjective de L
1 (T) dans l’espace
de Banach des suites (c n ) n∈Z tendant vers 0 à l’infini. (Appliquer le cor. 1
de EVT, I, p. 19.)
d) Supposons que f ∈ C
1 (T). La suite s n (f ) converge vers f dans C (T).