§ 1
EXERCICES
TS II.273
f ) Conclure que E G = F G et plus précisément que toute mesure µ dans E G
s’écrit
µ =
k∈K
n k
x k i(µ H k )
où l’ensemble K est fini, n k ∈ Z,
x k ∈
G, et les mesures i(µ H k ) sont mutuellement étrangères. (Soit µ ∈ E G ; montrer qu’il existe une mesure ν = 0 dans
l’adhérence de {ν ∈ A µ | ν(G) = 0} dont la norme est minimale ; montrer
alors en utilisant e) que { x ∈
G | ν( x) = 0} est fini, et appliquer l’exercice
précédent.)
27) Soit f une fonction dans S (R) de norme L
2 égale à 1. On a (principe
d’incertitude) l’inégalité
R
x
2 |f (x)|
2 dx
R
t
2 |
f (t)|
2 dt
1
(4π) 2
(remarquer que
−
1
2
= R
R
xf (x)f (x)dx
,
et appliquer l’inégalité de Cauchy-Schwarz). Déterminer les cas d’égalité.
28) a) Soit δ > 0 un nombre réel. Il n’existe pas de fonction f : R → C
intégrable, non nulle et à support compact, telle que
f (y) = O(exp(−δ|y|))
quand |y| → +∞. (En particulier, il n’existe pas de telle fonction telle que
f
soit aussi à support compact.)
b) Soit ( n ) n1 une suite sommable de nombres réels strictement positifs.
Le produit
g(x) =
n1
sin( n x)
n x
,
défini comme égal à 1 pour x = 0, converge absolument et uniformément sur
tout compact de R. Il définit une fonction continue, non nulle, paire, telle
que g ∈ L
1 (R).
c) Soit la somme de la série
n . Le support de la transformée de Fourier
de g est contenu dans [− ,].
d) Soit r > 0 un nombre réel. Soit δ : R + → R
∗
+ une fonction décroissante
telle que δ(y) → 0 quand y → +∞, telle que y → δ(y)/y est intégrable
sur [1, +∞[ par rapport à la mesure de Lebesgue, et telle que yδ(y) → +∞
quand y → +∞. Il existe une fonction continue f ∈ L
1 (R) à support compact
contenu dans [−r, r] telle que
f (y) = O(exp(−δ(|y|)|y|))