TS II.272
EXERCICES
§ 1
25) On note µ G la mesure de Haar donnée sur G. Soit µ une mesure complexe sur G.
a) L’image de la transformée de Fourier de µ est finie si et seulement si µ
est combinaison linéaire de mesures idempotentes, c’est-à-dire de mesures ν
telles que ν ∗ ν = ν.
b) Le support de F G (µ) est fini si et seulement si µ est une combinaison
linéaire finie de mesures
xµ G , où
x ∈
G.
c) On note A µ l’ensemble des mesures de la forme
x µ pour
x ∈
G. L’ensemble des mesures ν ∈ A µ telles que ν(G) = 0 est fini si et seulement si il
existe un sous-groupe fermé H de G, un ensemble fini K, des caractères
x k
pour k ∈ K et des nombres complexes t k pour k ∈ K tels que
ν =
k∈K
t k
x k
i(µ H )
où i désigne l’inclusion canonique de H dans G.
26) Pour tout groupe compact commutatif H, on note µ H la mesure de Haar
normalisée sur H.
On suppose G compact. On note E G l’ensemble des mesures complexes µ
sur G telles que la transformée de Fourier de µ soit à valeurs entières. C’est
un sous-groupe commutatif de M
1 (G) qui contient la mesure de Haar µ G .
On note F G le sous-groupe de E G engendré par les mesures
x i H (µ H ), où H
parcourt les sous-groupes fermés de G (i H désignant l’inclusion canonique de
H dans G), et où
x parcourt
G.
Le but de cet exercice est de démontrer que E G = F G (« théorème des
idempotents de Cohen »).
a) Soit ϕ : G 1 → G 2 un morphisme de groupes compacts commutatifs. L’application µ → ϕ(µ) est un homomorphisme de groupes de E G1 dans E G2 .
b) Pour tout µ ∈ E G et tout
x ∈
G, on a
xµ G ∈ E G .
Soit µ une mesure complexe sur G. On note θ la fonction sur G telle que
µ = θ|µ|. On note A µ ⊂ M
1 (G) l’ensemble des mesures de la forme
x µ. Soit
ν un point adhérent à A µ dans M
1 (G).
c) Si ν n’appartient pas à A µ , alors ν est singulière par rapport à µ G .
d) Soit ε > 0. Soient f ∈ C (G) de norme 1 telle que ν(f ) > (1 − ε)µ
et
x ∈
G tel que R(µ( x f )) > (1 − ε)µ. Montrer que
G
|1 − f
xθ| d|µ| 3ε
1/2 µ.
e) On suppose que µ ∈ E G . Montrer que ν µ (Appliquer
la question précédente à deux caractères
x 1 et
x 2 tels que
x 1 µ =
x 2 µ, et noter
que x 1 µ −
x 2 µ 1.)
EXERCICES
§ 1
25) On note µ G la mesure de Haar donnée sur G. Soit µ une mesure complexe sur G.
a) L’image de la transformée de Fourier de µ est finie si et seulement si µ
est combinaison linéaire de mesures idempotentes, c’est-à-dire de mesures ν
telles que ν ∗ ν = ν.
b) Le support de F G (µ) est fini si et seulement si µ est une combinaison
linéaire finie de mesures
xµ G , où
x ∈
G.
c) On note A µ l’ensemble des mesures de la forme
x µ pour
x ∈
G. L’ensemble des mesures ν ∈ A µ telles que ν(G) = 0 est fini si et seulement si il
existe un sous-groupe fermé H de G, un ensemble fini K, des caractères
x k
pour k ∈ K et des nombres complexes t k pour k ∈ K tels que
ν =
k∈K
t k
x k
i(µ H )
où i désigne l’inclusion canonique de H dans G.
26) Pour tout groupe compact commutatif H, on note µ H la mesure de Haar
normalisée sur H.
On suppose G compact. On note E G l’ensemble des mesures complexes µ
sur G telles que la transformée de Fourier de µ soit à valeurs entières. C’est
un sous-groupe commutatif de M
1 (G) qui contient la mesure de Haar µ G .
On note F G le sous-groupe de E G engendré par les mesures
x i H (µ H ), où H
parcourt les sous-groupes fermés de G (i H désignant l’inclusion canonique de
H dans G), et où
x parcourt
G.
Le but de cet exercice est de démontrer que E G = F G (« théorème des
idempotents de Cohen »).
a) Soit ϕ : G 1 → G 2 un morphisme de groupes compacts commutatifs. L’application µ → ϕ(µ) est un homomorphisme de groupes de E G1 dans E G2 .
b) Pour tout µ ∈ E G et tout
x ∈
G, on a
xµ G ∈ E G .
Soit µ une mesure complexe sur G. On note θ la fonction sur G telle que
µ = θ|µ|. On note A µ ⊂ M
1 (G) l’ensemble des mesures de la forme
x µ. Soit
ν un point adhérent à A µ dans M
1 (G).
c) Si ν n’appartient pas à A µ , alors ν est singulière par rapport à µ G .
d) Soit ε > 0. Soient f ∈ C (G) de norme 1 telle que ν(f ) > (1 − ε)µ
et
x ∈
G tel que R(µ( x f )) > (1 − ε)µ. Montrer que
G
|1 − f
xθ| d|µ| 3ε
1/2 µ.
e) On suppose que µ ∈ E G . Montrer que ν µ (Appliquer
la question précédente à deux caractères
x 1 et
x 2 tels que
x 1 µ =
x 2 µ, et noter
que x 1 µ −
x 2 µ 1.)