§ 1
EXERCICES
TS II.271
Pour des fonctions f 1 , f 2 , f 3 de G dans C, on note
Λ(f 1 , f 2 , f 3 ) =
1
p 2k
x∈G
h∈G
f 1 (x)f 2 (x + h)f 3 (x + 2h).
On note f la norme de f dans L
2 (G).
a) On a
Λ(1, f 2 , f 3 ) =
1
p k
x∈G
f 2 (x)
1
p k
x∈G
f 3 (x)
et
Λ(1, 1, f 3 ) =
1
p k
x∈G
f 3 (x).
b) On a
Λ(f 1 , f 2 , f 3 ) =
t∈G
f 1 (t)
f 2 (−2t)
f 3 (t),
et
|Λ(f 1 , f 2 , f 3 )| f 1 f 2
f 3 ∞ .
c) Soit f : G → R une fonction telle que
f (x) = 0. Il existe un hyperplan
affine H ⊂ G tel que
1
p k−1
x∈H
f (x)
1
2
f ∞
(montrer qu’il existe des éléments t ∈ G et θ ∈ R tels que la partie réelle de
p
−k
x f (x)(e t (x) exp(iθ) + 1) soit égale à
f ∞ ).
d) Soit A ⊂ G ne contenant pas de progression arithmétique de longueur 3,
c’est-à-dire qu’il n’existe pas x ∈ A et h ∈ G {0} tels que x + h et x + 2h
appartiennent aussi à A. Montrer qu’il existe un hyperplan affine H ⊂ G tel
que
Card(A ∩ H)
Card(H)
Card(A)
Card(G)
+
1
2
Card(A)
Card(G)
2
−
1
p k
(appliquer les questions précédentes à f = ϕ A − |A|/p
k , où ϕ A est la fonction
caractéristique de A).
e) Soit A ⊂ G ne contenant pas de progression arithmétique de longueur 3.
Montrer que Card(A) 3p
k /k (« théorème de Roth pour F
k
p »).
¶ 24) a) Soit δ > 0. Si p est un nombre premier assez grand et si A est une
partie de Z/pZ telle que Card(A) δp, alors A contient une progression
arithmétique de longueur 3. (Adapter la méthode de l’exercice précédent.)
b) Soit δ > 0. Si N est un entier assez grand et si A ⊂ {1, . . . , N} vérifie
Card(A) δN, alors A contient une progression arithmétique de longueur 3.
(Se ramener au cas de la question précédente en choisissant p convenablement
en fonction de N.)