TS II.270
EXERCICES
§ 1
c) Si k ∈ N, on a
J k (t) =
1
2π
2π
0
cos(t sin(u) − ku)du
pour tout t ∈ R + .
d) Si n est pair, montrer que F (µ)(x) est un polynôme en x
±1/2 ,
cos(2πx) et sin(2πx) ; pour n = 2, on a
F (µ)(x) =
sin(2πx)
2πx
.
e) Soit g une fonction continue à support compact dans R
∗
+ . Posons f (x) =
g(x
2 )x
1−n/2 pour tout x ∈ R
n . Alors on a
f (y) = h(y
2 )y
1−n/2 pour
y ∈ R
n , où
h(s) = π
+∞
0
g(t)J n/2−1 (2π
√
ts)dt
pour tout s ∈ R + (« transformée de Hankel »).
¶ 21) Soient H un sous-groupe fermé de G et f un élément de L
1 (G) tel
que F (f ) s’annule sur H
⊥ . Soit ε > 0. Il existe une mesure µ ∈ M
1 (G)
concentrée sur H telle que µ 2, f ∗ µ ε et telle que F (µ) = 1 au
voisinage de H
⊥ .
22) Soit p un nombre premier. Soit K une extension finie du corps Q p
des nombres p-adiques ; c’est un corps localement compact non discret. Soit
t : K → Q p l’application trace. Notons λ : Q p → Q l’application définie dans
la prop. 20 de II, p. 237.
a) Le groupe additif de K est en dualité avec lui-même par le biais de
l’application (x, y) → exp(2iπλ(t(xy))). On identifie K et son dual par cette
application.
Pour tout entier n 1, on note S (K
n ) l’espace vectoriel complexe des
fonctions de K
n dans C qui sont localement constantes et à support compact.
b) La restriction de la transformation de Fourier à S (K
n ) est un automorphisme dont la réciproque est la restriction de la cotransformation de
Fourier.
c) Pour tout réel p ∈ [1, +∞[, l’espace S (K
n ) est dense dans L
p (K
n ).
23) Soient p 3 un nombre premier et k 1 un entier. On note G = F
k
p .
On munit G de la mesure de Haar de masse totale 1, et on identifie
G et G
par le biais de l’application qui à n = (n 1 , . . . , n k ) ∈ G associe le caractère
e n : x → exp
2iπ
p
k
j=1
n j x j
.
EXERCICES
§ 1
c) Si k ∈ N, on a
J k (t) =
1
2π
2π
0
cos(t sin(u) − ku)du
pour tout t ∈ R + .
d) Si n est pair, montrer que F (µ)(x) est un polynôme en x
±1/2 ,
cos(2πx) et sin(2πx) ; pour n = 2, on a
F (µ)(x) =
sin(2πx)
2πx
.
e) Soit g une fonction continue à support compact dans R
∗
+ . Posons f (x) =
g(x
2 )x
1−n/2 pour tout x ∈ R
n . Alors on a
f (y) = h(y
2 )y
1−n/2 pour
y ∈ R
n , où
h(s) = π
+∞
0
g(t)J n/2−1 (2π
√
ts)dt
pour tout s ∈ R + (« transformée de Hankel »).
¶ 21) Soient H un sous-groupe fermé de G et f un élément de L
1 (G) tel
que F (f ) s’annule sur H
⊥ . Soit ε > 0. Il existe une mesure µ ∈ M
1 (G)
concentrée sur H telle que µ 2, f ∗ µ ε et telle que F (µ) = 1 au
voisinage de H
⊥ .
22) Soit p un nombre premier. Soit K une extension finie du corps Q p
des nombres p-adiques ; c’est un corps localement compact non discret. Soit
t : K → Q p l’application trace. Notons λ : Q p → Q l’application définie dans
la prop. 20 de II, p. 237.
a) Le groupe additif de K est en dualité avec lui-même par le biais de
l’application (x, y) → exp(2iπλ(t(xy))). On identifie K et son dual par cette
application.
Pour tout entier n 1, on note S (K
n ) l’espace vectoriel complexe des
fonctions de K
n dans C qui sont localement constantes et à support compact.
b) La restriction de la transformation de Fourier à S (K
n ) est un automorphisme dont la réciproque est la restriction de la cotransformation de
Fourier.
c) Pour tout réel p ∈ [1, +∞[, l’espace S (K
n ) est dense dans L
p (K
n ).
23) Soient p 3 un nombre premier et k 1 un entier. On note G = F
k
p .
On munit G de la mesure de Haar de masse totale 1, et on identifie
G et G
par le biais de l’application qui à n = (n 1 , . . . , n k ) ∈ G associe le caractère
e n : x → exp
2iπ
p
k
j=1
n j x j
.