§ 1
EXERCICES
TS II.269
e) Lorsque σ > 1 converge vers 1, on a
p≡a mod. q
p
−σ =
1
ϕ(q)
p
p
−σ + O(1),
où ϕ(q) est l’indicateur d’Euler de q (A, V, p. 76).
f ) Il existe une infinité de nombres premiers congrus à a modulo q (« théorème de la progression arithmétique de Dirichlet »).
18) a) Soit n ∈ N et soit f ∈ S (R
n ). La fonction de R ×R
n dans C définie
par
u(t, x) =
R n
f (y) exp(2πix · y − 4π
2 ty
2 )dy
pour (t, x) ∈ R × R
n vérifie
(1)
u(0, x) = f (0, x)
∂ t u = i∆ 2 u,
(« équation de Schrödinger »)où
∆ 2 u =
n
i=1
∂
2
xi u.
b) La fonction u est l’unique solution de (1) telle que t → (x → u(t, x))
appartienne à C
∞ (R, S (R
n )).
19) Soit n ∈ N et soit f ∈ L
1 (R
n ) (resp. L
2 (R
n )) tel que f ◦ σ = f pour
tout élément σ du groupe spécial orthogonal SO(n, R). Alors la transformée
de Fourier
f de f vérifie
f (σ(y)) =
f (y) pour tout σ ∈ SO(n, R) et tout
y ∈ R
n (resp. presque tout y ∈ R
n ).
20) Soit n 1 un entier. On identifie R
∗
+ × S n , et R
n+1 {0} par l’application (t, z) → tz. Soit ω l’unique mesure sur la sphère S n ⊂ R
n+1 invariante
par O(n + 1, R) telle que la mesure t
n dt ⊗ µ s’identifie à la mesure de Lebesgue sur R
n+1
{0} (cf. INT, VII, p. 116, exercice 8). Notons µ la mesure
sur R
n+1 image de la mesure ω par l’injection de S n dans R
n+1 .
a) On a µ(S n ) = 2π
(n+1)/2 Γ(
n+1
2 )
−1 (cf. INT, V, §8, n
o 7).
b) Pour tout nombre réel k 0, on définit la fonction J k : R + → C par
J k (t) =
(t/2)
k
Γ(k +
1
2 )Γ(
1
2 )
1
−1
e
iut (1 − u
2 )
k−1/2 du
pour t ∈ R + (« fonction de Bessel de première espèce »). Pour tout x ∈ R
n+1 ,
on a
F (µ)(x) =
2π
x (n−1)/2 J (n−1)/2 (2πx)
où x est la norme euclidienne.