TS II.268
EXERCICES
§ 1
j) On a ζ(s) = 0 si R(s) = 1 et s = 1. (Montrer à l’aide du produit eulérien
que
ζ(σ)
3 ζ(σ + it)
4 ζ(σ + 2it) 1
pour tout σ > 1 et t ∈ R, puis considérer t tel que ζ(1 + it) = 0.)
17) Soient q 1 un entier, et soit a 1 un entier premier à q. Soit
χ un
caractère du groupe (Z/qZ)
∗ . On note χ l’application de Z dans C telle que
χ(n) = 0 si n n’est pas premier à q et χ(n) =
χ(n (mod. q)) dans le cas
contraire (« caractères de Dirichlet »).
a) Supposons
χ non trivial. La fonction définie par
L(s, χ) =
n1
χ(n)n
−s
est holomorphe sur l’ouvert U de C formé des nombres complexes tels que
R(s) > 1, et il existe une unique fonction holomorphe sur R(s) > 0 qui
coïncide avec elle sur U. On a
L(s, χ) =
p
(1 − χ(p)p
−s )
−1
pour s ∈ U, où le produit porte sur les nombres premiers et converge absolument et uniformément sur les parties compactes de U (« Fonction L de
Dirichlet »).
b) Supposons que
χ
2 n’est pas trivial. On a L(1, χ) = 0. (Adapter la méthode de la question j) de l’exercice précédent.)
c) On suppose que
χ est d’ordre 2. Pour tout entier n 1, on note
r χ (n) =
d|n
χ(d)
où la somme porte sur les diviseurs d 1 de n. Il existe un nombre réel c > 0
tel que, pour tout x 2, on ait
nx
r χ (n)
√
n
c log(x)
(remarquer que l’application r χ est 0 et multiplicative, c’est-à-dire que
r χ (nm) = r χ (n)r χ (m) si n et m sont premiers entre eux, et noter que r χ (n)
1 si n est un carré d’un nombre entier.)
d) On suppose toujours que
χ est d’ordre 2. On a
nx
r χ (n)
√
n
=
1
2
L(1, χ)x
1/2 + O(1)
lorsque x → +∞. En déduire que L(1, χ) = 0.