§ 1
EXERCICES
TS II.267
(« fonction zêta de Riemann »).
a) La fonction ζ est holomorphe sur l’ouvert de C formé des nombres complexes s tels que R(s) > 1.
b) Pour y ∈ R
∗
+ , notons
θ(y) =
n∈Z
e
−πn
2 y ;
cette série converge absolument et uniformément sur les compacts de R
∗
+ .
Pour tout s tel que R(s) > 1, on a
π
−s/2 Γ(s/2)ζ(s) =
1
2
+∞
0
θ(y)y
s/2 dy
y
(voir FVR, VII, p. 10 pour la fonction gamma dans le plan complexe).
c) Pour tout y ∈ R
∗
+ , on a θ(y
−1 ) =
√
yθ(y). (Utiliser la formule de Poisson
et l’exercice 1.)
d) Pour tout s tel que R(s) > 1, on a
π
−s/2 Γ(s/2)ζ(s) =
1
s(s − 1)
+
1
2
+∞
1
(θ(y) − 1)(y
s/2 + y
(1−s)/2 )
dy
y
.
e) Il existe une unique fonction holomorphe sur C {1} dont la restriction
à l’ouvert des nombres complexes de partie réelle > 1 coïncide avec ζ. Cette
fonction, encore notée ζ, vérifie (s − 1)ζ(s) → 1 quand s → 1 ( * autrement
dit, elle admet un pôle simple de résidu 1 en s = 1 * ).
f ) La fonction Λ définie par
Λ(s) = π
−s/2 Γ(s/2)ζ(s)
est holomorphe sur C {0, 1} ; elle a des pôles simples de résidu 1 en s = 0
et s = 1. On a Λ(1 − s) = Λ(s) pour tout s ∈ C {0, 1}.
g) Montrer que pour tout s ∈ C tel que R(s) > 1, on a
ζ(s) =
p
(1 − p
−s )
−1 ,
où le produit porte sur l’ensemble des nombres premiers et est absolument
convergent (« produit eulérien »).
h) Lorsque σ > 1 converge ver 1, on a
p
p
−σ = log
1
σ − 1
+ O(1),
où la somme porte sur les nombres premiers.
i) Tout s ∈ C {1} tel que ζ(s) = 0 est soit de la forme s = −2k, où k 1
est un entier, soit vérifie 0 R(s) 1.