TS II.266
EXERCICES
§ 1
a) Soit P un ensemble compact de Kronecker. Si µ ∈ M
1 (G) est concentrée
sur P, on a F (µ) ∞ = µ. En déduire que toute fonction complexe continue
sur P est la restriction de la transformée de Fourier d’un élément f ∈ L
1 (
G).
b) Soit E ⊂ G un ensemble fini indépendant. Soit f une fonction complexe
de valeur absolue 1 sur E. On suppose que f (x)
q = 1 lorsque x ∈ E est
d’ordre q. La fonction f est limite uniforme sur E de caractères unitaires
de G. (Utiliser l’exerc. 13.)
c) Tout ensemble de Kronecker est indépendant et ne contient que des éléments d’ordre infini.
d) Tout ensemble de type K q est indépendant.
e) Soit k 1 un entier et soient V 1 , . . . , V k des parties ouvertes non vides
disjointes de G. Si tout voisinage de e dans G contient un élément d’ordre
infini, il existe x i ∈ V i pour 1 i k tel que {x 1 , . . . , x k } soit un ensemble
de Kronecker. Si G = (Z/qZ)
N , il existe x i ∈ V i tel que {x 1 , . . . , x k } soit de
type K q .
f ) Soient E ⊂ G un ensemble compact indépendant, F = E ∪ E
−1 . Soit µ
une mesure bornée diffuse sur G, concentrée sur F. Alors les mesures µ
n , pour
n 0, sont deux à deux étrangères, où l’on pose µ
0 = ε e et µ
n = µ ∗ µ
n−1
pour n 1. (Montrer que, si m < n, l’ensemble des (x 1 , . . . , x n ) ∈ G
n tels
que x 1 . . . x n ∈ F
m est négligeable pour µ ⊗ · · · ⊗ µ). En déduire que, si µ 0,
on a
n
k=0 α k µ
k =
n
k=0 |α k | |µ
k quels que soient les nombres complexes
α 0 , . . . , α n .
g) Soit r 1 un entier. Soient E ⊂ G un ensemble compact indépendant,
µ 1 , . . . , µ r des mesures 0 diffuses de masse 1, concentrées sur des parties
disjointes E 1 , . . . , E r de E. Soient z 1 , . . . , z r ∈ C avec |z i | 1 pour tout i. Il
existe un caractère χ de M
1 (G) tel que χ(µ i ) = z i pour 1 i r. (Montrer
d’abord, en raisonnant comme dans f ), que, si (n 1 , . . . , n r ) = (m 1 , . . . , m r ),
les mesures µ
m1
1 ∗· · ·∗µ
mr
r et µ
n1
1 ∗· · ·∗µ
nr
r sont étrangères. Ensuite, supposant
|z i | = 1 pour tout i, montrer que le rayon spectral de ε e +z 1 µ 1 +· · ·+z r µ r est
r + 1, d’où un caractère χ de M
1 (G) tel que χ(ε e +z 1 µ 1 +· · · +z r µ r ) = r +1 ;
ce caractère répond à la question. Dans le cas général, écrire z i =
1
2 (z
i + z
i )
avec |z
i | = |z
i | = 1, et µ i =
1
2 (µ
i + µ
i ) où µ
1 , µ
1 , . . . , µ
r , µ
r vérifient les
mêmes hypothèses que µ 1 , . . . , µ r .)
h) Soit M d (E) l’espace de Banach des mesures diffuses sur G concentrées
sur E. Toute forme linéaire continue de norme 1 sur M d (E) se prolonge en
un caractère de M
1 (G). (Utiliser g).)
16) Pour tout nombre complexe s tel que R(s) > 1, on note
ζ(s) =
n1
1
n s
EXERCICES
§ 1
a) Soit P un ensemble compact de Kronecker. Si µ ∈ M
1 (G) est concentrée
sur P, on a F (µ) ∞ = µ. En déduire que toute fonction complexe continue
sur P est la restriction de la transformée de Fourier d’un élément f ∈ L
1 (
G).
b) Soit E ⊂ G un ensemble fini indépendant. Soit f une fonction complexe
de valeur absolue 1 sur E. On suppose que f (x)
q = 1 lorsque x ∈ E est
d’ordre q. La fonction f est limite uniforme sur E de caractères unitaires
de G. (Utiliser l’exerc. 13.)
c) Tout ensemble de Kronecker est indépendant et ne contient que des éléments d’ordre infini.
d) Tout ensemble de type K q est indépendant.
e) Soit k 1 un entier et soient V 1 , . . . , V k des parties ouvertes non vides
disjointes de G. Si tout voisinage de e dans G contient un élément d’ordre
infini, il existe x i ∈ V i pour 1 i k tel que {x 1 , . . . , x k } soit un ensemble
de Kronecker. Si G = (Z/qZ)
N , il existe x i ∈ V i tel que {x 1 , . . . , x k } soit de
type K q .
f ) Soient E ⊂ G un ensemble compact indépendant, F = E ∪ E
−1 . Soit µ
une mesure bornée diffuse sur G, concentrée sur F. Alors les mesures µ
n , pour
n 0, sont deux à deux étrangères, où l’on pose µ
0 = ε e et µ
n = µ ∗ µ
n−1
pour n 1. (Montrer que, si m < n, l’ensemble des (x 1 , . . . , x n ) ∈ G
n tels
que x 1 . . . x n ∈ F
m est négligeable pour µ ⊗ · · · ⊗ µ). En déduire que, si µ 0,
on a
n
k=0 α k µ
k =
n
k=0 |α k | |µ
k quels que soient les nombres complexes
α 0 , . . . , α n .
g) Soit r 1 un entier. Soient E ⊂ G un ensemble compact indépendant,
µ 1 , . . . , µ r des mesures 0 diffuses de masse 1, concentrées sur des parties
disjointes E 1 , . . . , E r de E. Soient z 1 , . . . , z r ∈ C avec |z i | 1 pour tout i. Il
existe un caractère χ de M
1 (G) tel que χ(µ i ) = z i pour 1 i r. (Montrer
d’abord, en raisonnant comme dans f ), que, si (n 1 , . . . , n r ) = (m 1 , . . . , m r ),
les mesures µ
m1
1 ∗· · ·∗µ
mr
r et µ
n1
1 ∗· · ·∗µ
nr
r sont étrangères. Ensuite, supposant
|z i | = 1 pour tout i, montrer que le rayon spectral de ε e +z 1 µ 1 +· · ·+z r µ r est
r + 1, d’où un caractère χ de M
1 (G) tel que χ(ε e +z 1 µ 1 +· · · +z r µ r ) = r +1 ;
ce caractère répond à la question. Dans le cas général, écrire z i =
1
2 (z
i + z
i )
avec |z
i | = |z
i | = 1, et µ i =
1
2 (µ
i + µ
i ) où µ
1 , µ
1 , . . . , µ
r , µ
r vérifient les
mêmes hypothèses que µ 1 , . . . , µ r .)
h) Soit M d (E) l’espace de Banach des mesures diffuses sur G concentrées
sur E. Toute forme linéaire continue de norme 1 sur M d (E) se prolonge en
un caractère de M
1 (G). (Utiliser g).)
16) Pour tout nombre complexe s tel que R(s) > 1, on note
ζ(s) =
n1
1
n s