§ 1
EXERCICES
TS II.265
d) Si f est une fonction continue 0 sur R telle que F = {x ∈ R|f (x) > 0},
alors il n’existe aucun couple de fonctions (f 1 , f 2 ) dans L
1 (R) telles que
f 1 0, f 2 0 et f = f 1 ∗ f 2 . (Supposons une telle égalité. Soit E i l’ensemble
des x ∈ R tels que f i (x) > 0. Soit F i l’ensemble des points de densité de E i
(INT, V, §6, exerc. 15). Démontrer que F = F 1 + F 2 .)
10) Soit k ∈ Z. L’application x → x
k de G dans G est injective si et
seulement si l’application χ → χ
k de
G dans
G est surjective.
11) Soient G un groupe abélien fini et d un entier 1. Démontrer que pour
tout x ∈ G et tout χ ∈
G, on a
y∈G
y
d =x
χ(y) =
η∈ G
η
d =χ
η(x).
12) Soit (G i ) i∈I une famille de groupes commutatifs localement compacts.
Pour tout i ∈ I, soit H i un sous-groupe ouvert compact de G i . Soit G le
produit direct local des G i relativement aux H i (TG, III, p. 71, exerc. 26) ;
il est localement compact. Pour tout χ ∈
G, soit χ i la restriction de χ à G i .
Montrer que χ → (χ i ) i∈I est un isomorphisme du groupe topologique
G sur
le produit direct local des
G i relativement aux H
⊥
i .
13) Soient G d le groupe G muni de la topologie discrète et χ un caractère
unitaire de G d . Pour tout entier n 1, tous éléments x 1 , . . . , x n ∈ G et tout
ε > 0, il existe
x ∈
G tel que || x, x i − χ(x i )| ε pour 1 i n. (L’injection
canonique de G d dans G a pour dual un morphisme de
G dans
G d dont
l’image est dense d’après le cor. 5 de II, p. 229.)
14) a) L’espace L
1 (G) est un idéal fermé dans M
1 (G), donc
G s’identifie à
une partie ouverte de X(M
1 (G)) (cf. exercice 17 de I, p. 169).
b) Soit M d (G) (resp. M a (G)) l’ensemble des µ ∈ M
1 (G) qui sont diffuses
(resp. atomiques). Alors M d (G) est un idéal fermé de M
1 (G) et M a (G) est
une sous-algèbre fermée de M
1 (G).
¶ 15) Soit E ⊂ G. On dit que E est indépendant si, pour tout entier k 1,
pour tous éléments x 1 , . . . , x k deux à deux distincts de E et pour tous entiers
n 1 , . . . , n k , la relation x
n1
1 · · · x
n k
k = e entraîne x
n1
1 = · · · = x
n k
k = e. On
dit que E est un ensemble de Kronecker si toute fonction complexe continue
sur E de valeur absolue 1 est limite uniforme sur E de caractères unitaires
de G. Si q est un entier 1 et G = (Z/qZ)
N , on dit que E est de type K q si
toute application continue de E dans l’ensemble des racines q-èmes de l’unité
coïncide sur E avec un caractère unitaire de G.
EXERCICES
TS II.265
d) Si f est une fonction continue 0 sur R telle que F = {x ∈ R|f (x) > 0},
alors il n’existe aucun couple de fonctions (f 1 , f 2 ) dans L
1 (R) telles que
f 1 0, f 2 0 et f = f 1 ∗ f 2 . (Supposons une telle égalité. Soit E i l’ensemble
des x ∈ R tels que f i (x) > 0. Soit F i l’ensemble des points de densité de E i
(INT, V, §6, exerc. 15). Démontrer que F = F 1 + F 2 .)
10) Soit k ∈ Z. L’application x → x
k de G dans G est injective si et
seulement si l’application χ → χ
k de
G dans
G est surjective.
11) Soient G un groupe abélien fini et d un entier 1. Démontrer que pour
tout x ∈ G et tout χ ∈
G, on a
y∈G
y
d =x
χ(y) =
η∈ G
η
d =χ
η(x).
12) Soit (G i ) i∈I une famille de groupes commutatifs localement compacts.
Pour tout i ∈ I, soit H i un sous-groupe ouvert compact de G i . Soit G le
produit direct local des G i relativement aux H i (TG, III, p. 71, exerc. 26) ;
il est localement compact. Pour tout χ ∈
G, soit χ i la restriction de χ à G i .
Montrer que χ → (χ i ) i∈I est un isomorphisme du groupe topologique
G sur
le produit direct local des
G i relativement aux H
⊥
i .
13) Soient G d le groupe G muni de la topologie discrète et χ un caractère
unitaire de G d . Pour tout entier n 1, tous éléments x 1 , . . . , x n ∈ G et tout
ε > 0, il existe
x ∈
G tel que || x, x i − χ(x i )| ε pour 1 i n. (L’injection
canonique de G d dans G a pour dual un morphisme de
G dans
G d dont
l’image est dense d’après le cor. 5 de II, p. 229.)
14) a) L’espace L
1 (G) est un idéal fermé dans M
1 (G), donc
G s’identifie à
une partie ouverte de X(M
1 (G)) (cf. exercice 17 de I, p. 169).
b) Soit M d (G) (resp. M a (G)) l’ensemble des µ ∈ M
1 (G) qui sont diffuses
(resp. atomiques). Alors M d (G) est un idéal fermé de M
1 (G) et M a (G) est
une sous-algèbre fermée de M
1 (G).
¶ 15) Soit E ⊂ G. On dit que E est indépendant si, pour tout entier k 1,
pour tous éléments x 1 , . . . , x k deux à deux distincts de E et pour tous entiers
n 1 , . . . , n k , la relation x
n1
1 · · · x
n k
k = e entraîne x
n1
1 = · · · = x
n k
k = e. On
dit que E est un ensemble de Kronecker si toute fonction complexe continue
sur E de valeur absolue 1 est limite uniforme sur E de caractères unitaires
de G. Si q est un entier 1 et G = (Z/qZ)
N , on dit que E est de type K q si
toute application continue de E dans l’ensemble des racines q-èmes de l’unité
coïncide sur E avec un caractère unitaire de G.