TS II.264
EXERCICES
§ 1
5) Soit µ ∈ M
1 (G). On suppose que F (µ) ∈ L
1 (
G). Alors µ est une mesure
de base la mesure de Haar sur G (INT, V, § 5, n
o 2, déf. 2), et admet une
densité continue par rapport à celle-ci. (Utiliser la base de filtre B de la
prop. 8 de II, p. 211. Montrer que lim ϕ,B ϕ ∗ µ = µ pour la topologie vague,
et pour ϕ dans un élément de B, on a F (ϕ ∗ µ) = F (ϕ)F (µ) ; or F (µ) ∈
L
1 (
G), donc ϕ ∗ µ = F (F (ϕ ∗ µ)) tend vers F (F (µ)) dans C 0 (G). Ainsi
dµ(x) = f (x)dx où f = F (F (µ)).)
6) Soient H un sous-groupe de G, et µ ∈ M
1 (
G). Pour que F (µ) soit
invariante par les translations par des éléments de H, il faut et il suffit que le
support de µ soit contenu dans H
⊥ .
7) Soit f ∈ L
1 (G). Soit F une fonction holomorphe définie dans une partie
ouverte U de C. On suppose que U contient l’ensemble des valeurs de F (f ),
et si G n’est pas discret, on suppose que 0 ∈ U et F(0) = 0.
Alors il existe g ∈ L
1 (G) telle que F ◦ F (f ) = F (g). (Utiliser le calcul
fonctionnel holomorphe.)
8) Soient p ∈ [1, 2] et q ∈ [2, +∞] tels que 1/p + 1/q = 1.
a) Soit f ∈ K (G). Montrer que F (f ) q f p . (Cette inégalité est valide
pour p = 1 et p = 2. Dans le cas général, utiliser l’inégalité de M. Riesz (INT,
IV, §6, exerc. 18).)
b) En déduire que la restriction de F à K (G) se prolonge en une application
linéaire continue de L
p (G) dans L
q (
G) qui coïncide avec la transformation de
Fourier sur L
p (G) ∩ L
1 (G) et sur L
p (G) ∩ L
2 (G).
¶ 9) Soit G un groupe localement compact (non nécessairement commutatif)
muni d’une mesure de Haar à gauche.
a) Si f ∈ L
1 (G), il existe f 1 et f 2 dans L
1 (G) tels que f 1 ∗ f 2 = f . (Utiliser
l’exercice 30 de I, p. 185.)
b) Soient f 1 , f 2 ∈ L
1 (G) avec f 1 0, f 2 0. Montrer que f 1 ∗f 2 est presque
partout égale à une fonction semi-continue inférieurement. (Considérer f 1
comme limite simple d’une suite croissante de fonctions 0 de L
∞ (G).)
c) On prend G = R. Pour tout intervalle ouvert I = ]a, b[, posons
A(I) = ]a, a + (b − a)/6[,
A
(I) = ]a + 5(b − a)/6, b[.
On définit des intervalles I n pour n 1 et I
n pour n 0 par I
0 = ]0, 1[ et
I n = A(I
n−1 ),
I
n = A
(I
n−1 )
pour n 1. Soit F la réunion des intervalles I n pour n 1. Il n’existe aucun
couple (F 1 , F 2 ) de parties de R telles que F 1 + F 2 = F.
EXERCICES
§ 1
5) Soit µ ∈ M
1 (G). On suppose que F (µ) ∈ L
1 (
G). Alors µ est une mesure
de base la mesure de Haar sur G (INT, V, § 5, n
o 2, déf. 2), et admet une
densité continue par rapport à celle-ci. (Utiliser la base de filtre B de la
prop. 8 de II, p. 211. Montrer que lim ϕ,B ϕ ∗ µ = µ pour la topologie vague,
et pour ϕ dans un élément de B, on a F (ϕ ∗ µ) = F (ϕ)F (µ) ; or F (µ) ∈
L
1 (
G), donc ϕ ∗ µ = F (F (ϕ ∗ µ)) tend vers F (F (µ)) dans C 0 (G). Ainsi
dµ(x) = f (x)dx où f = F (F (µ)).)
6) Soient H un sous-groupe de G, et µ ∈ M
1 (
G). Pour que F (µ) soit
invariante par les translations par des éléments de H, il faut et il suffit que le
support de µ soit contenu dans H
⊥ .
7) Soit f ∈ L
1 (G). Soit F une fonction holomorphe définie dans une partie
ouverte U de C. On suppose que U contient l’ensemble des valeurs de F (f ),
et si G n’est pas discret, on suppose que 0 ∈ U et F(0) = 0.
Alors il existe g ∈ L
1 (G) telle que F ◦ F (f ) = F (g). (Utiliser le calcul
fonctionnel holomorphe.)
8) Soient p ∈ [1, 2] et q ∈ [2, +∞] tels que 1/p + 1/q = 1.
a) Soit f ∈ K (G). Montrer que F (f ) q f p . (Cette inégalité est valide
pour p = 1 et p = 2. Dans le cas général, utiliser l’inégalité de M. Riesz (INT,
IV, §6, exerc. 18).)
b) En déduire que la restriction de F à K (G) se prolonge en une application
linéaire continue de L
p (G) dans L
q (
G) qui coïncide avec la transformation de
Fourier sur L
p (G) ∩ L
1 (G) et sur L
p (G) ∩ L
2 (G).
¶ 9) Soit G un groupe localement compact (non nécessairement commutatif)
muni d’une mesure de Haar à gauche.
a) Si f ∈ L
1 (G), il existe f 1 et f 2 dans L
1 (G) tels que f 1 ∗ f 2 = f . (Utiliser
l’exercice 30 de I, p. 185.)
b) Soient f 1 , f 2 ∈ L
1 (G) avec f 1 0, f 2 0. Montrer que f 1 ∗f 2 est presque
partout égale à une fonction semi-continue inférieurement. (Considérer f 1
comme limite simple d’une suite croissante de fonctions 0 de L
∞ (G).)
c) On prend G = R. Pour tout intervalle ouvert I = ]a, b[, posons
A(I) = ]a, a + (b − a)/6[,
A
(I) = ]a + 5(b − a)/6, b[.
On définit des intervalles I n pour n 1 et I
n pour n 0 par I
0 = ]0, 1[ et
I n = A(I
n−1 ),
I
n = A
(I
n−1 )
pour n 1. Soit F la réunion des intervalles I n pour n 1. Il n’existe aucun
couple (F 1 , F 2 ) de parties de R telles que F 1 + F 2 = F.