TS II.262
SOUS-ESPACES INVARIANTS
§ 3
§ 1
1) a) Soient ω, p, q ∈ R avec p q. On pose f (x) = e
iωx pour p x q,
f (x) = 0 pour x > q ou x < p. Alors pour y ∈ R, on a
F (f )(y) = i
e
ip(ω−2πy) − e
iq(ω−2πy)
ω − 2πy
.
b) Soient ω ∈ R, β > 0. On pose f (x) = e
(−β+iω)x pour x 0, f (x) = 0
pour x < 0. Alors pour y ∈ R, on a
F (f )(y) =
i
ω − 2πy + iβ
.
c) Soit a > 0. On pose f (x) =
1
a e
−a|x| pour x ∈ R. Alors pour y ∈ R, on a
F (f )(y) =
2
4π 2 y 2 + a 2 .
d) On pose f (x) = e
−πx
2 pour x ∈ R. Alors pour y ∈ R, on a F (f )(y) =
e
−πy
2 . (Trouver une équation différentielle linéaire du premier ordre satisfaite
par la transformée de Fourier de f , et utiliser la formule
+∞
0
e
−t
2 dt =
1
2
√
π
de FVR, VII, §1, n
o 3.)
e) Soit n ∈ N et soit Q une forme quadratique définie positive sur R
n .
Soit σ une application linéaire sur R
n telle que Q(x) = σ(x)
2 . Soit Q
∗ la
forme quadratique définie positive telle que Q
∗ (y) =
t σ
−1 (y)
2 pour tout
y ∈ R
n . Soit z ∈ C un nombre complexe tel que I (z) > 0. La fonction f
de R
n dans C définie par f (x) = exp(iπzQ(x)) appartient à S (R
n ) et on a
F (f )(y) = |det(σ)|
−1
i
z
n/2
exp(iπz
−1 Q
∗ (y))
pour tout y ∈ R
n .
f ) Soit f ∈ C (R) la fonction définie par f (x) = (sin(πx)/(πx))
2 pour x = 0
et f (0) = 1. On a F (f )(y) = 0 si |y| > 1 et F (f )(y) = 1 − |y| sinon. Soit
g(x) = xf (x). On a F (g)(y) = 0 si |y| > 1 et F (g)(y) = s(y)/(2iπ) sinon.
2) On identifie l’intervalle [0, 1[ avec T = R/Z par la projection canonique.
Soient 0 a < b < 1. Soit f la fonction continue de R/Z dans R telle
que f (x) = 0 si x /
∈ [a, b], f ((a + b)/2) = 1, et telle que f est affine sur les
intervalles [a, (a + b)/2] et [(a + b)/2, b].
Calculer la transformée de Fourier de f et démontrer qu’il existe une
constante C 0 telle que
|
f (n)| inf
𵫾
b − a,
C
n 2
𵫾
pour tout n ∈ Z {0}.