TS II.258
SOUS-ESPACES INVARIANTS
§ 3
Si W est un sous-espace vectoriel de L ∞ (G) faiblement fermé et invariant par translation, nous noterons A(W) l’ensemble des caractères
χ ∈
G qui appartiennent à W. C’est une partie fermée de
G. Si F est
une partie fermée de
G, nous noterons Y(F) le sous-espace vectoriel
faiblement fermé de L ∞ (G) engendré par les éléments de F ; comme
toute translation de G transforme chaque caractère en une fonction
proportionnelle à ce caractère, l’espace Y(F) est invariant par translation.
Soit W un sous-espace faiblement fermé de L ∞ (G) invariant par les
translations de G. D’après le théorème des bipolaires (EVT, II, p. 48,
th. 1), un caractère χ appartient à W si et seulement si il appartient à
(W ◦ ) ◦ ; ce dernier espace est l’ensemble des fonctions g ∈ L ∞ (G) telles
que f, g = 0 pour f ∈ W ◦ . On a f, χ = F (f )(χ), et donc
A(W) = V(W
◦ ).
Similairement, une fonction f ∈ L 1 (G) appartient à Y(F) ◦ si et seulement f, χ = 0 pour tout χ ∈ F, ce qui équivaut à F (f )(χ) = 0 pour
χ ∈ F, c’est-à-dire à f ∈ Υ(F). Donc (loc. cit.) on a
Y(F) = Υ(F)
◦ .
Les relations V(Υ(F)) = F (I, p. 13 et I, p. 30) et Υ(V(I)) ⊃ I, combinées avec le théorème des bipolaires (EVT, II, p. 48, th. 1), entraînent
alors
A(Y(F)) = F,
Y(A(W)) ⊂ W.
Proposition 4. — Soit W un sous-espace vectoriel faiblement fermé
de L ∞ (G) invariant par translation et non nul. Alors W contient au
moins un caractère de G.
On a vu que A(W) = V(W ◦ ). Comme W = 0, on a W ◦ = L 1 (G), et
alors V(W ◦ ) est non vide d’après le th. 1 de II, p. 252.
Proposition 5. — Soit W un sous-espace vectoriel faiblement fermé
de L ∞ (G) invariant par translation.
a) Quel que soit le voisinage U de A(W) dans
G, toute fonction de
W est limite faible de combinaisons linéaires de caractères appartenant
à U ;
b) Si la frontière de A(W) ne contient aucun ensemble parfait non
vide, toute fonction de W est limite faible de combinaisons linéaires
de caractères appartenant à W.