N
o 3
SOUS-ESPACES INVARIANTS FAIBLEMENT FERMÉS
TS II.257
Appliquant la prop. 5, on obtient alors le résultat suivant :
Théorème 2. — Soit I un idéal fermé de L 1 (G) tel que la frontière
de V(I) ne contienne aucun ensemble parfait non vide. Alors I est
l’ensemble des fonctions f ∈ L 1 (G) telles que F (f ) s’annule sur V(I).
Pour un idéal fermé quelconque de L
1 (G), la conclusion du th. 2 est
en général inexacte (cf. exerc. 12 de II, p. 314). Plus précisément, on
peut montrer que, si G est non compact, il existe un idéal fermé de
L
1 (G) qui n’est pas auto-adjoint (voir par exemple W. Rudin, Fourier
analysis on groups, Interscience tracts in pure and applied mathematics,
theorem 7.7.1.)
Corollaire. — Si un idéal fermé I de L 1 (G) est contenu dans un
seul idéal régulier maximal, alors I est lui-même régulier maximal.
3. Sous-espaces invariants faiblement fermés de L ∞ (G)
Dans ce numéro, on identifie L ∞ (G) au dual de L 1 (G), et on le
munit de la topologie faible σ(L ∞ (G), L 1 (G)). On note (f, g) → →f, g
l’application bilinéaire définissant cette dualité pour f ∈ L 1 (G) et
g ∈ L ∞ (G).
L’application W → W ◦ est une bijection de l’ensemble des sousespaces vectoriels faiblement fermés de L ∞ (G) sur l’ensemble des sousespaces vectoriels fermés de L 1 (G) (EVT, II, p. 55, prop. 10).
D’autre part, si f ∈ L 1 (G) et x ∈ G, l’endomorphisme g → f ∗ g
(resp. g → ε x ∗ g) de l’espace de Banach L 1 (G) a pour transposé l’endomorphisme h → q
f ∗ h (resp. h → ε x −1 ∗ h) de l’espace de Banach
L ∞ (G) (INT, VIII, §4, n
o 3, exemple 6). Pour qu’un sous-espace vectoriel fermé de L 1 (G) soit un idéal de L 1 (G), il faut et il suffit qu’il
soit invariant par les translations de G. Donc, pour qu’un sous-espace
vectoriel faiblement fermé de L ∞ (G) soit stable par convolution avec
les éléments de L 1 (G), il faut et il suffit qu’il soit invariant par les
translations de G.
Soit W un sous-espace vectoriel faiblement fermé de L ∞ (G). Supposons W (donc aussi W ◦ ) invariant par les translations de G. Soit f ∈
L 1 (G). Pour tout g ∈ L ∞ (G), on a ( q
f ∗g)(x) = ε x ∗f, g = f, ε x −1 ∗ g.
Donc, pour que f appartienne à W ◦ , il faut et il suffit que q
f ∗ g = 0
pour tout g ∈ W.
o 3
SOUS-ESPACES INVARIANTS FAIBLEMENT FERMÉS
TS II.257
Appliquant la prop. 5, on obtient alors le résultat suivant :
Théorème 2. — Soit I un idéal fermé de L 1 (G) tel que la frontière
de V(I) ne contienne aucun ensemble parfait non vide. Alors I est
l’ensemble des fonctions f ∈ L 1 (G) telles que F (f ) s’annule sur V(I).
Pour un idéal fermé quelconque de L
1 (G), la conclusion du th. 2 est
en général inexacte (cf. exerc. 12 de II, p. 314). Plus précisément, on
peut montrer que, si G est non compact, il existe un idéal fermé de
L
1 (G) qui n’est pas auto-adjoint (voir par exemple W. Rudin, Fourier
analysis on groups, Interscience tracts in pure and applied mathematics,
theorem 7.7.1.)
Corollaire. — Si un idéal fermé I de L 1 (G) est contenu dans un
seul idéal régulier maximal, alors I est lui-même régulier maximal.
3. Sous-espaces invariants faiblement fermés de L ∞ (G)
Dans ce numéro, on identifie L ∞ (G) au dual de L 1 (G), et on le
munit de la topologie faible σ(L ∞ (G), L 1 (G)). On note (f, g) → →f, g
l’application bilinéaire définissant cette dualité pour f ∈ L 1 (G) et
g ∈ L ∞ (G).
L’application W → W ◦ est une bijection de l’ensemble des sousespaces vectoriels faiblement fermés de L ∞ (G) sur l’ensemble des sousespaces vectoriels fermés de L 1 (G) (EVT, II, p. 55, prop. 10).
D’autre part, si f ∈ L 1 (G) et x ∈ G, l’endomorphisme g → f ∗ g
(resp. g → ε x ∗ g) de l’espace de Banach L 1 (G) a pour transposé l’endomorphisme h → q
f ∗ h (resp. h → ε x −1 ∗ h) de l’espace de Banach
L ∞ (G) (INT, VIII, §4, n
o 3, exemple 6). Pour qu’un sous-espace vectoriel fermé de L 1 (G) soit un idéal de L 1 (G), il faut et il suffit qu’il
soit invariant par les translations de G. Donc, pour qu’un sous-espace
vectoriel faiblement fermé de L ∞ (G) soit stable par convolution avec
les éléments de L 1 (G), il faut et il suffit qu’il soit invariant par les
translations de G.
Soit W un sous-espace vectoriel faiblement fermé de L ∞ (G). Supposons W (donc aussi W ◦ ) invariant par les translations de G. Soit f ∈
L 1 (G). Pour tout g ∈ L ∞ (G), on a ( q
f ∗g)(x) = ε x ∗f, g = f, ε x −1 ∗ g.
Donc, pour que f appartienne à W ◦ , il faut et il suffit que q
f ∗ g = 0
pour tout g ∈ W.