TS II.256
SOUS-ESPACES INVARIANTS
§ 3
L 1 (G) telle que f ∗ f n converge vers f dans L 1 (G) et telle que F (f n )
s’annule au voisinage de χ. On peut supposer que f 1 = 1. Par translation dans
G, on se ramène au cas où χ = e.
Soit K n une partie compacte de G telle que
G Kn
|f (x)|dx
1
n
.
Soit u n ∈ L 1 (G) une fonction 0 telle que u n 1 = 1 et
f − f ∗ u n 1
1
n
(cf. prop. 8 de II, p. 211, (iii)). D’après le lemme 2, il existe une fonction
j n dans L 1 (G) telle que j n 1
√
2, dont la cotransformée de Fourier
vaut 1 au voisinage de e, et de plus telle que j n − j n ∗ ε x 1 n −1
pour tout x ∈ K n . On pose
f n = u n − j n ∗ u n .
Nous allons montrer que la suite (f n ) n1 possède les propriétés requises. Tout d’abord, on a
F (f n ) = F (u n ) − F (j n )F (u n ) = (1 − F (j n ))F (u n )
donc la transformée de Fourier de f n s’annule au voisinage de χ = e.
D’autre part,
f ∗ f n − f 1 f ∗ u n − f 1 + f ∗ j n 1 u n 1
1
n
+ f ∗ j n 1 .
Or, pour presque tout y ∈ G, on a
(f ∗ j n )(y) =
G
f (x)j n (x
−1 y)dx =
G
f (x)(j n (x
−1 y) − j n (y))dx
puisque, par hypothèse, on a F (f )(e) =
G f (x)dx = 0. D’où
f ∗ j n 1
G
|f (x)| |j n ∗ ε x − j n 1 dx
=
Kn
|f (x)| |j n ∗ ε x − j n 1 dx
+
G Kn
|f (x)| j n ∗ ε x − j n 1 dx
1
n
Kn
|f (x)| dx + 4
G Kn
|f (x)| dx
5
n
.
Finalement, f ∗ f n − f 1 6n −1 et donc f ∗ f n converge dans f
dans L 1 (G), comme désiré.