N
o 2
IDÉAUX FERMÉS DE L 1 (G)
TS II.255
a) D’après le théorème de Plancherel et la condition m(V)
1
2 m(U),
on a
j 1
u 2 v 2
m(V)
=
F G (u) 2 F G (v) 2
m(V)
=
m(U)m(V)
m(V)
√
2.
b) Il existe un voisinage W de e dans
G tel que WV ⊂ U (TG, II,
p. 31, prop. 4). Pour tout
x ∈ W, on a
xV ⊂ U, et la prop. 14 de II,
p. 223 implique
F G (j)( x) =
1
m(V)
(F G (u) ∗ F G (v))( x)
=
1
m(V)
G
ϕ U ( y)ϕ V ( y
−1
x) dm( y)
=
m(U ∩
xV −1 )
m(V)
=
m( xV)
m(V)
= 1
puisque V est symétrique.
c) Si x ∈ K, on a
u − u ∗ ε x
2
2 =
G
F G (u)( x)
1 − x,
x
2 dm( x) m(U)
η
4
2
puisque U ⊂ U 1 , et de même v − v ∗ ε x 2
2 m(V)
η
4
2 . Donc
j − j ∗ ε x 1 =
1
m(V)
u(v − v ∗ ε x ) + (v ∗ ε x )(u − u ∗ ε x ) 1
η
4m(V)
u 2
m(V) + v 2
m(U)
=
η
m(U)m(V)
2m(V)
< η.
Proposition 3. — L’algèbre L 1 (G) vérifie la condition de Ditkin (I,
p. 92, déf. 2).
Soit χ un caractère de L 1 (G). Distinguons deux cas suivant que χ
est nul ou non. Si χ est nul, il faut vérifier que pour toute fonction
f ∈ L 1 (G), il existe une suite (f n ) n1 dans L 1 (G) telle que F (f n )
s’annule hors d’une partie compacte de
G et telle que f n ∗ f tende
vers f dans L 1 (G). L’existence d’une telle suite résulte du lemme 1
ci-dessus et de la prop. 8 de II, p. 211.
Supposons maintenant que χ est non nul, donc χ ∈ X(L 1 (G)) =
G
(prop. 1 de II, p. 202). Soit f ∈ L 1 (G) telle que G L 1 (G) (f )(χ) =
F (f )(χ) = 0. Il s’agit de prouver l’existence d’une suite (f n ) n1 dans