TS II.254
SOUS-ESPACES INVARIANTS
§ 3
L’espace I est donc un idéal fermé de L 1 (G). On a f ∈ I par hypothèse, donc I = L 1 (G) d’après le th. 1 puisque la transformée de
Fourier de f ne s’annule pas. Ceci implique a).
Plaçons-nous dans les hypothèses de b). Soit ε > 0. Puisque g est
lentement oscillante suivant Φ, il existe M ∈ Φ et un voisinage compact
V de e tels que
x ∈ M et y ∈ V =⇒ |g(y
−1 x) − g(x)| ε.
Soient ϕ la fonction caractéristique de V et µ =
ϕ(x)dx. Pour tout
x ∈ G, on a
1
µ
(ϕ ∗ g)(x) =
1
µ
V
g(y
−1 x)dy = g(x) +
1
µ
V
(g(y
−1 x) − g(x))dy.
Donc pour tout x ∈ M, on a
1
µ
(ϕ ∗ g)(x) − g(x)
ε.
Comme, d’après a), la limite de ϕ ∗ g selon Φ est nulle, on a
lim sup Φ |g| ε. Puisque ε est arbitraire, on conclut que la limite de
g selon Φ est nulle, ce qui prouve b).
Lemme 2. — Soit K une partie compacte de G. Pour tout η > 0, il
existe une fonction j ∈ L 1 (G) telle que :
a) j 1
√
2 ;
b) la fonction F G (j) est égale à 1 au voisinage de l’élément neutre
de
G ;
c) pour tout x ∈ K, on a j − j ∗ ε x 1 η.
L’ensemble U 1 des éléments
x ∈
G tels que
|| x, x − 1|
η
4
pour tout x ∈ K est un voisinage de e dans
G. Soit U ⊂ U 1 un
voisinage ouvert, symétrique, et intégrable pour la mesure de Haar
m = d x de
G duale de la mesure dx. Soit V ⊂ U un voisinage compact
symétrique de e tel que m(V)
1
2 m(U). Notons ϕ U (resp. ϕ V ) la
fonction caractéristique de U (resp. de V). Puisque ϕ U appartient à
L 2 (G), il existe u ∈ L 2 (G) telle que ϕ U = F G (u) (th. 1 de II, p. 215).
De même, il existe une fonction v ∈ L 2 (G) telle que ϕ V = F G (v).
Nous allons montrer que la fonction j =
1
m(V) uv vérifie les propriétés
demandées. On a j ∈ L 1 (G).