N
o 2
IDÉAUX FERMÉS DE L 1 (G)
TS II.253
L 1 (G) (lemme 1), le cor. 1 de I, p. 92 montre que l’idéal I est contenu
dans un idéal maximal régulier de L 1 (G), c’est-à-dire dans le noyau
d’un caractère
y de L 1 (G) (th. 2 de I, p. 30) ; on peut alors prendre
x =
y −1 (cf. formule (8) de II, p. 207).
Corollaire 1 (Théorème taubérien de Wiener)
Soit f ∈ L 1 (G). Si la transformée de Fourier de f ne s’annule
pas, les fonctions f ∗ ε x : g → f (gx −1 ), où x parcourt G, forment un
ensemble total dans L 1 (G) (EVT, I, p. 12, déf. 1).
Soit V le sous-espace vectoriel fermé de L 1 (G) engendré par les f ∗ε x .
D’après INT, VIII, §4, cor. de la prop. 20, l’espace V est un idéal fermé
de L 1 (G). D’après le th. 1 on a V = L 1 (G).
Définition 1. — Soit g une fonction complexe sur G et soit Φ un
filtre sur G. On dit que g est lentement oscillante suivant Φ si, pour
tout ε > 0, il existe un ensemble M ∈ Φ et un voisinage V de e dans
G tels que
x ∈ M et y ∈ V =⇒ |g(xy) − g(x)| ε.
Corollaire 2. — Soit Φ un filtre sur G invariant par translation.
Soit f ∈ L 1 (G) telle que la transformée de Fourier de f ne s’annule
pas et telle que
G f (x)dx = 1. Soit g ∈ L ∞ (G). On suppose que f ∗ g
a une limite finie α suivant Φ.
a) Pour toute fonction h ∈ L 1 (G) telle que
G h(x)dx = 1, la limite
de h ∗ g suivant Φ est égale à α ;
b) Supposons de plus que g soit lentement oscillante suivant Φ.
Alors g tend vers α suivant Φ.
En remplaçant g par g − α, on se ramène au cas où α = 0. Soit I
l’ensemble des fonctions h ∈ L 1 (G) telles que h ∗ g tende vers 0 suivant
Φ. L’ensemble I est un sous-espace vectoriel de L 1 (G) invariant par
translation. C’est un espace fermé. En effet, soit h ∈ I. Pour toute
fonction h 0 ∈ L 1 (G) et tout x ∈ G, on a
|(h ∗ g)(x)| |((h − h 0 ) ∗ g)(x)| + |(h 0 ∗ g)(x)|
h − h 0 1 g ∞ + |(h 0 ∗ g)(x)|.
Pour tout ε > 0, il existe h 0 ∈ I telle que h − h 0 1 g ∞ < ε. Soit M ∈
Φ tel que |(h 0 ∗ g)(x)| < ε pour tout x ∈ M. On a alors |(h ∗ g)(x)| < 2ε
pour tout x ∈ M, donc h ∗ g converge vers 0 suivant Φ. Cela montre
que h ∈ I.
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IDÉAUX FERMÉS DE L 1 (G)
TS II.253
L 1 (G) (lemme 1), le cor. 1 de I, p. 92 montre que l’idéal I est contenu
dans un idéal maximal régulier de L 1 (G), c’est-à-dire dans le noyau
d’un caractère
y de L 1 (G) (th. 2 de I, p. 30) ; on peut alors prendre
x =
y −1 (cf. formule (8) de II, p. 207).
Corollaire 1 (Théorème taubérien de Wiener)
Soit f ∈ L 1 (G). Si la transformée de Fourier de f ne s’annule
pas, les fonctions f ∗ ε x : g → f (gx −1 ), où x parcourt G, forment un
ensemble total dans L 1 (G) (EVT, I, p. 12, déf. 1).
Soit V le sous-espace vectoriel fermé de L 1 (G) engendré par les f ∗ε x .
D’après INT, VIII, §4, cor. de la prop. 20, l’espace V est un idéal fermé
de L 1 (G). D’après le th. 1 on a V = L 1 (G).
Définition 1. — Soit g une fonction complexe sur G et soit Φ un
filtre sur G. On dit que g est lentement oscillante suivant Φ si, pour
tout ε > 0, il existe un ensemble M ∈ Φ et un voisinage V de e dans
G tels que
x ∈ M et y ∈ V =⇒ |g(xy) − g(x)| ε.
Corollaire 2. — Soit Φ un filtre sur G invariant par translation.
Soit f ∈ L 1 (G) telle que la transformée de Fourier de f ne s’annule
pas et telle que
G f (x)dx = 1. Soit g ∈ L ∞ (G). On suppose que f ∗ g
a une limite finie α suivant Φ.
a) Pour toute fonction h ∈ L 1 (G) telle que
G h(x)dx = 1, la limite
de h ∗ g suivant Φ est égale à α ;
b) Supposons de plus que g soit lentement oscillante suivant Φ.
Alors g tend vers α suivant Φ.
En remplaçant g par g − α, on se ramène au cas où α = 0. Soit I
l’ensemble des fonctions h ∈ L 1 (G) telles que h ∗ g tende vers 0 suivant
Φ. L’ensemble I est un sous-espace vectoriel de L 1 (G) invariant par
translation. C’est un espace fermé. En effet, soit h ∈ I. Pour toute
fonction h 0 ∈ L 1 (G) et tout x ∈ G, on a
|(h ∗ g)(x)| |((h − h 0 ) ∗ g)(x)| + |(h 0 ∗ g)(x)|
h − h 0 1 g ∞ + |(h 0 ∗ g)(x)|.
Pour tout ε > 0, il existe h 0 ∈ I telle que h − h 0 1 g ∞ < ε. Soit M ∈
Φ tel que |(h 0 ∗ g)(x)| < ε pour tout x ∈ M. On a alors |(h ∗ g)(x)| < 2ε
pour tout x ∈ M, donc h ∗ g converge vers 0 suivant Φ. Cela montre
que h ∈ I.