TS II.252
SOUS-ESPACES INVARIANTS
§ 3
élément l’ensemble des f ∈ L 1 (G) dont la cotransformation de Fourier
est à support compact disjoint de M (I, p. 91, prop. 4).
3) Soient I un idéal de L 1 (G), et g :
G → C une fonction continue.
On suppose que pour tout χ ∈
G, il existe une fonction f χ ∈ I telle
que g soit égale à F G (f χ ) au voisinage de χ. On suppose en outre qu’il
existe une fonction f ∞ ∈ I telle que g soit égale à F G (f ∞ ) dans le
complémentaire d’une partie compacte de
G, cette dernière condition
étant toujours satisfaite si G est discret. Alors il existe une fonction
f ∈ I telle que g = F G (f ) (I, p. 91, cor. 2).
Lemme 1. — L’espace des fonctions de L 1 (G) dont la transformée de
Fourier est à support compact est dense dans L 1 (G).
Comme K (
G) est dense dans L 2 (
G) et que la transformation de
Fourier de L 2 (G) est une isométrie sur L 2 (
G) (th. 1 de II, p. 215), le
sous-espace V de L 2 (G) formé des f ∈ L 2 (G) telles que F G (f ) ∈ K (
G)
est dense dans L 2 (G).
Soit g ∈ L 1 (G). Il existe g 1 , g 2 ∈ L 2 (G) telles que g = g 1 g 2 (on peut
par exemple prendre g 1 = |g| 1/2 , et g 2 (x) = 0 si g(x) = 0, g 2 (x) =
g(x)/g 1 (x) sinon). On déduit donc de ce qui précède que g est limite
d’une suite de fonctions de la forme h 1 h 2 , où h 1 et h 2 appartiennent à
V. Or F G (h 1 h 2 ) = F G (h 1 )∗F G (h 2 ) (II, p. 223, prop. 14), et F G (h 1 )∗
F G (h 2 ) appartient à K (G). Le lemme en résulte.
Proposition 2. — Soit I un idéal fermé de L 1 (G), et soit f ∈ L 1 (G).
Si F G (f ) s’annule sur un voisinage de V(I), alors f appartient à I.
Soit ε > 0. Il existe une fonction g ∈ L 1 (G) telle que f − f ∗ g 1 <
ε (prop. 8 de II, p. 211 (iv)). Soit h ∈ L 1 (G) tel que le support de
F G (h) est compact et f 1 g − h 1 < ε (lemme 1). On a
f − f ∗ h 1 f − f ∗ g 1 + f ∗ (g − h) 1 < 2ε.
D’après l’hypothèse sur f , la fonction F G (f ∗ h) = F G (f )F G (h) est
à support compact disjoint de V(I), ce qui implique que f ∗ h ∈ I
(remarque 2 ci-dessus). Comme ε est arbitrairement petit, on a f ∈
I = I.
Théorème 1. — Soit I un idéal fermé de L 1 (G) distinct de L 1 (G). Il
existe un caractère
x ∈
G tel que F G (f )( x) = 0 pour toute f ∈ I.
Comme l’algèbre L 1 (G) est régulière (prop. 2 de II, p. 219) et sans
radical (cor. de la prop. 22 de I, p. 126), et que l’ensemble des fonctions
dont la cotransformée de Fourier est à support compact est dense dans
SOUS-ESPACES INVARIANTS
§ 3
élément l’ensemble des f ∈ L 1 (G) dont la cotransformation de Fourier
est à support compact disjoint de M (I, p. 91, prop. 4).
3) Soient I un idéal de L 1 (G), et g :
G → C une fonction continue.
On suppose que pour tout χ ∈
G, il existe une fonction f χ ∈ I telle
que g soit égale à F G (f χ ) au voisinage de χ. On suppose en outre qu’il
existe une fonction f ∞ ∈ I telle que g soit égale à F G (f ∞ ) dans le
complémentaire d’une partie compacte de
G, cette dernière condition
étant toujours satisfaite si G est discret. Alors il existe une fonction
f ∈ I telle que g = F G (f ) (I, p. 91, cor. 2).
Lemme 1. — L’espace des fonctions de L 1 (G) dont la transformée de
Fourier est à support compact est dense dans L 1 (G).
Comme K (
G) est dense dans L 2 (
G) et que la transformation de
Fourier de L 2 (G) est une isométrie sur L 2 (
G) (th. 1 de II, p. 215), le
sous-espace V de L 2 (G) formé des f ∈ L 2 (G) telles que F G (f ) ∈ K (
G)
est dense dans L 2 (G).
Soit g ∈ L 1 (G). Il existe g 1 , g 2 ∈ L 2 (G) telles que g = g 1 g 2 (on peut
par exemple prendre g 1 = |g| 1/2 , et g 2 (x) = 0 si g(x) = 0, g 2 (x) =
g(x)/g 1 (x) sinon). On déduit donc de ce qui précède que g est limite
d’une suite de fonctions de la forme h 1 h 2 , où h 1 et h 2 appartiennent à
V. Or F G (h 1 h 2 ) = F G (h 1 )∗F G (h 2 ) (II, p. 223, prop. 14), et F G (h 1 )∗
F G (h 2 ) appartient à K (G). Le lemme en résulte.
Proposition 2. — Soit I un idéal fermé de L 1 (G), et soit f ∈ L 1 (G).
Si F G (f ) s’annule sur un voisinage de V(I), alors f appartient à I.
Soit ε > 0. Il existe une fonction g ∈ L 1 (G) telle que f − f ∗ g 1 <
ε (prop. 8 de II, p. 211 (iv)). Soit h ∈ L 1 (G) tel que le support de
F G (h) est compact et f 1 g − h 1 < ε (lemme 1). On a
f − f ∗ h 1 f − f ∗ g 1 + f ∗ (g − h) 1 < 2ε.
D’après l’hypothèse sur f , la fonction F G (f ∗ h) = F G (f )F G (h) est
à support compact disjoint de V(I), ce qui implique que f ∗ h ∈ I
(remarque 2 ci-dessus). Comme ε est arbitrairement petit, on a f ∈
I = I.
Théorème 1. — Soit I un idéal fermé de L 1 (G) distinct de L 1 (G). Il
existe un caractère
x ∈
G tel que F G (f )( x) = 0 pour toute f ∈ I.
Comme l’algèbre L 1 (G) est régulière (prop. 2 de II, p. 219) et sans
radical (cor. de la prop. 22 de I, p. 126), et que l’ensemble des fonctions
dont la cotransformée de Fourier est à support compact est dense dans