N
o 2
IDÉAUX FERMÉS DE L 1 (G)
TS II.251
1. Le cas de l’espace hilbertien L 2 (G)
Pour toute partie mesurable M de
G, on note E M l’ensemble des f ∈
L 2 (G) telles que la transformation de Fourier F G (f ) est nulle presque
partout sur
G. Soit ϕ M la fonction caractéristique de M. L’espace E M
est le noyau de l’application linéaire continue f → ϕ M F G (f ) de L 2 (G)
dans L 2 (
G), et c’est donc un sous-espace fermé de L 2 (G).
Proposition 1. —
a) Soit M une partie mesurable de
G. Pour
tout x ∈ G, l’espace E M est stable par l’application f → ε x ∗ f ;
b) Soient M et N des parties mesurables de
G. On a E M = E N si et
seulement si M et N sont égales à un ensemble localement négligeable
près ;
c) Tout sous-espace de L 2 (G) stable par les applications f → ε x ∗ f
pour tout x ∈ G est de la forme E M pour une partie mesurable M de
G.
Ce résultat sera démontré ultérieurement (cf. V, à paraître).
2. Idéaux fermés de L 1 (G)
La cotransformation de Fourier sur l’algèbre de Banach L 1 (G)
s’identifie avec la transformation de Gelfand de L 1 (G) (II, p. 209).
Avec cette identification, rappelons que si I est un idéal de L 1 (G), on
note V(I) l’ensemble fermé dans
G des caractères χ ∈
G tels que, pour
toute fonction f ∈ I, la cotransformation de Fourier de f s’annule en
χ (cf. I, p. 30). Pour toute partie M de
G, on note Υ(M) l’idéal fermé
des f ∈ L 1 (G) telles que F G (f ) s’annule sur M (I, p. 30).
D’après la prop. 2 de II, p. 219, l’algèbre de Banach L 1 (G) est régulière. D’après § 5 de I, p. 88 on en déduit donc les propriétés suivantes
de la transformation et de la cotransformation de Fourier :
1) Si F est une partie fermée de
G et K une partie compacte de
G telles que F ∩ K = ∅, il existe une fonction f ∈ L 1 (G) telle que
F G (f ) soit égale à 0 sur F et à 1 sur K (I, p. 88, prop. 1 ; pour ce
fait et les suivants, on passe de la cotransformation de Fourier à la
transformation de Fourier par le biais de la formule (8) de II, p. 207).
2) Soit M une partie fermée de
G. L’ensemble des idéaux I de L 1 (G)
tels que V(I) = M a pour plus grand élément Υ(M) et pour plus petit
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IDÉAUX FERMÉS DE L 1 (G)
TS II.251
1. Le cas de l’espace hilbertien L 2 (G)
Pour toute partie mesurable M de
G, on note E M l’ensemble des f ∈
L 2 (G) telles que la transformation de Fourier F G (f ) est nulle presque
partout sur
G. Soit ϕ M la fonction caractéristique de M. L’espace E M
est le noyau de l’application linéaire continue f → ϕ M F G (f ) de L 2 (G)
dans L 2 (
G), et c’est donc un sous-espace fermé de L 2 (G).
Proposition 1. —
a) Soit M une partie mesurable de
G. Pour
tout x ∈ G, l’espace E M est stable par l’application f → ε x ∗ f ;
b) Soient M et N des parties mesurables de
G. On a E M = E N si et
seulement si M et N sont égales à un ensemble localement négligeable
près ;
c) Tout sous-espace de L 2 (G) stable par les applications f → ε x ∗ f
pour tout x ∈ G est de la forme E M pour une partie mesurable M de
G.
Ce résultat sera démontré ultérieurement (cf. V, à paraître).
2. Idéaux fermés de L 1 (G)
La cotransformation de Fourier sur l’algèbre de Banach L 1 (G)
s’identifie avec la transformation de Gelfand de L 1 (G) (II, p. 209).
Avec cette identification, rappelons que si I est un idéal de L 1 (G), on
note V(I) l’ensemble fermé dans
G des caractères χ ∈
G tels que, pour
toute fonction f ∈ I, la cotransformation de Fourier de f s’annule en
χ (cf. I, p. 30). Pour toute partie M de
G, on note Υ(M) l’idéal fermé
des f ∈ L 1 (G) telles que F G (f ) s’annule sur M (I, p. 30).
D’après la prop. 2 de II, p. 219, l’algèbre de Banach L 1 (G) est régulière. D’après § 5 de I, p. 88 on en déduit donc les propriétés suivantes
de la transformation et de la cotransformation de Fourier :
1) Si F est une partie fermée de
G et K une partie compacte de
G telles que F ∩ K = ∅, il existe une fonction f ∈ L 1 (G) telle que
F G (f ) soit égale à 0 sur F et à 1 sur K (I, p. 88, prop. 1 ; pour ce
fait et les suivants, on passe de la cotransformation de Fourier à la
transformation de Fourier par le biais de la formule (8) de II, p. 207).
2) Soit M une partie fermée de
G. L’ensemble des idéaux I de L 1 (G)
tels que V(I) = M a pour plus grand élément Υ(M) et pour plus petit