TS II.250
CLASSIFICATION
§ 2
également la composante neutre de K ⊥ (TG, III, p. 35, prop. 14). Donc
l’assertion pour le groupe discret G/K est équivalente à celle pour G.
Finalement, supposons que G est discret. Le groupe
G est alors
compact (prop. 18 de II, p. 233). La composante neutre (
G) 0 est l’intersection des sous-groupes ouverts de
G (TG, III, p. 35, prop. 14) et
un sous-groupe de
G est ouvert si et seulement si il est fermé et d’indice fini, ou encore si son orthogonal est fini (corollaire 2 de II, p. 233) ;
le corollaire 4 de II, p. 228 montre que (
G) ⊥
0 est la réunion des sousgroupes finis de G, qui n’est autre que B G puisque G est discret. On
conclut par dualité.
Corollaire 1. — Supposons G compact. Alors les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) Le groupe G est connexe ;
(ii) Le groupe
G est sans torsion ;
(iii) Le groupe G est divisible.
Ceci résulte de la prop. 4 et du cor. 7 de II, p. 229 puisque B G = G.
Corollaire 2. — Supposons G compact. Alors G est totalement discontinu si et seulement si
G est un groupe de torsion.
Le groupe G est totalement discontinu si et seulement sa composante
neutre est réduite à {e} ; la prop. 4 montre que cette condition équivaut
à B
G
=
G. Comme le groupe
G est discret (prop. 18 de II, p. 233),
cela revient à dire que chaque élément de
G engendre un groupe fini,
donc que
G est de torsion.
Corollaire 3. — Si G est connexe, alors G est divisible.
En effet, il existe un groupe compact connexe K et un entier n 0
tel que G est isomorphe à R n × K (II, p. 248, prop. 3, où on doit
avoir L = K). Le corollaire 1 montre que K est divisible, et donc G est
divisible.
§ 3. SOUS-ESPACES INVARIANTS
L’objectif de ce numéro est l’étude de certains sous-espaces invariants par translation dans les espaces L 1 (G), L 2 (G) et L ∞ (G).