N
o 2
CAS GÉNÉRAL
TS II.249
forment une famille filtrante (puisque G V et G W sont contenus dans
G V∪W pour tous voisinages compacts V et W de e). Finalement, le
groupe G est la réunion des sous-groupes G V .
Soit H un sous-groupe ouvert de G engendré par un voisinage compact de e. Il existe un groupe compact K et des entiers positifs p et
q tels que H est isomorphe à R p × Z q × K (prop. 1 de II, p. 246) ;
identifions H à ce produit. La surjection canonique de H sur le groupe
divisible R p se prolonge en un morphisme π de G sur R p (lemme 3
de II, p. 245). C’est un projecteur π de G sur R p , qui est continu
puisque sa restriction au sous-groupe ouvert H est continue. Donc G
est produit direct de R p et du noyau L de π (TG, III, p. 47, cor.). On
a Z q × K = H ∩ L, donc Z q × K est un sous-groupe ouvert de L. Ainsi
K est un sous-groupe compact ouvert de L, et par conséquent L/K est
discret.
Proposition 4. — Soit B G l’ensemble des éléments de G qui engendrent un sous-groupe relativement compact de G. Alors B G est un
sous-groupe fermé de G et B ⊥
G est la composante neutre de
G.
L’ensemble B G est un sous-groupe de G puisque le produit de deux
parties compactes de G est une partie compacte de G.
Soit H un sous-groupe ouvert de G engendré par un voisinage compact de e. Il existe des entiers positifs p et q et un groupe compact K
tel que le sous-groupe H soit isomorphe à R p × Z q × K (prop. 1 de II,
p. 246). Si l’on identifie ces groupes, on voit que B G ∩ H = K est fermé
dans H. Comme la famille des sous-groupes ouverts H engendrés par
les voisinages compacts est un recouvrement ouvert de G (par exemple,
x appartient au sous-groupe engendré par U ∩ {x} pour tout voisinage
compact fixé U de e), on en déduit que B G est fermé.
Calculons maintenant B ⊥
G . Par la prop. 3, a), il existe un entier
positif n 0 et un groupe L admettant un sous-groupe ouvert compact
tel que G puisse s’identifier à R n × L. Alors B G s’identifie à {0} × B L ,
et B ⊥
G à R n × B ⊥
L . On est donc ramené au cas où G = L admet un
sous-groupe ouvert compact K.
On a alors K ⊂ B G ; si l’on identifie
G/K à K ⊥ (théorème 4 de II,
p. 226), l’orthogonal (B G /K) ⊥ de B G /K dans
G/K s’identifie à B ⊥
G .
Mais d’autre part B G /K = B G/K , et comme K ⊥ est un sous-groupe
ouvert de
G (cor. 2 de II, p. 233), la composante neutre
G 0 de
G est
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CAS GÉNÉRAL
TS II.249
forment une famille filtrante (puisque G V et G W sont contenus dans
G V∪W pour tous voisinages compacts V et W de e). Finalement, le
groupe G est la réunion des sous-groupes G V .
Soit H un sous-groupe ouvert de G engendré par un voisinage compact de e. Il existe un groupe compact K et des entiers positifs p et
q tels que H est isomorphe à R p × Z q × K (prop. 1 de II, p. 246) ;
identifions H à ce produit. La surjection canonique de H sur le groupe
divisible R p se prolonge en un morphisme π de G sur R p (lemme 3
de II, p. 245). C’est un projecteur π de G sur R p , qui est continu
puisque sa restriction au sous-groupe ouvert H est continue. Donc G
est produit direct de R p et du noyau L de π (TG, III, p. 47, cor.). On
a Z q × K = H ∩ L, donc Z q × K est un sous-groupe ouvert de L. Ainsi
K est un sous-groupe compact ouvert de L, et par conséquent L/K est
discret.
Proposition 4. — Soit B G l’ensemble des éléments de G qui engendrent un sous-groupe relativement compact de G. Alors B G est un
sous-groupe fermé de G et B ⊥
G est la composante neutre de
G.
L’ensemble B G est un sous-groupe de G puisque le produit de deux
parties compactes de G est une partie compacte de G.
Soit H un sous-groupe ouvert de G engendré par un voisinage compact de e. Il existe des entiers positifs p et q et un groupe compact K
tel que le sous-groupe H soit isomorphe à R p × Z q × K (prop. 1 de II,
p. 246). Si l’on identifie ces groupes, on voit que B G ∩ H = K est fermé
dans H. Comme la famille des sous-groupes ouverts H engendrés par
les voisinages compacts est un recouvrement ouvert de G (par exemple,
x appartient au sous-groupe engendré par U ∩ {x} pour tout voisinage
compact fixé U de e), on en déduit que B G est fermé.
Calculons maintenant B ⊥
G . Par la prop. 3, a), il existe un entier
positif n 0 et un groupe L admettant un sous-groupe ouvert compact
tel que G puisse s’identifier à R n × L. Alors B G s’identifie à {0} × B L ,
et B ⊥
G à R n × B ⊥
L . On est donc ramené au cas où G = L admet un
sous-groupe ouvert compact K.
On a alors K ⊂ B G ; si l’on identifie
G/K à K ⊥ (théorème 4 de II,
p. 226), l’orthogonal (B G /K) ⊥ de B G /K dans
G/K s’identifie à B ⊥
G .
Mais d’autre part B G /K = B G/K , et comme K ⊥ est un sous-groupe
ouvert de
G (cor. 2 de II, p. 233), la composante neutre
G 0 de
G est