TS II.248
CLASSIFICATION
§ 2
Proposition 2. — Supposons G compact. Il existe une famille filtrante décroissante (H i ) i∈I de sous-groupes fermés de G tels que
a) le groupe G s’identifie à la limite projective des G/H i ;
b) pour tout i, il existe un entier q 횿 0 et un groupe fini A tels que
G/H i est isomorphe à T q × A.
En effet,
G est discret (prop. 18 de II, p. 233), donc réunion d’une
famille filtrante croissante (D i ) i∈I de sous-groupes de type fini. Posons
H i = D ⊥
i ; le groupe G s’identifie à la limite projective des G/H i (II,
p. 234, cor. 3), et (H i ) est une famille filtrante décroissante.
Soit i ∈ I. Il existe un entier q 0 et un groupe fini A tels que le
groupe D i est isomorphe à Z q × A (A, VII, p. 22, th. 3), donc G/H i
est isomorphe à T q ×
A (cf. corollaire 1 de II, p. 232).
Corollaire. — Si le groupe G est engendré par une partie compacte,
alors il est limite projective de groupes isomorphes à des groupes de la
forme R p × T q × Z r × A, où A est un groupe fini et p, q, r sont des
entiers positifs.
D’après le (ii) de la prop. 1 de II, p. 246, le corollaire résulte de la
prop. 2.
2. Cas général
Dans ce numéro, G désigne un groupe localement compact commutatif.
Proposition 3. —
a) Il existe un entier n 0 et un sous-groupe L
tel que G est produit direct de L et d’un sous-groupe isomorphe à R n ,
et de plus L admet un sous-groupe ouvert compact K tel que L/K est
discret ;
b) Le groupe G est réunion d’une famille filtrante croissante de sousgroupes ouverts, chacun étant limite projective de groupes isomorphes
à des groupes de la forme R p × T q × Z r × A, où A est un groupe fini
et p, q, r sont des entiers positifs.
Démontrons b). Pour tout voisinage compact V de e, notons G V le
sous-groupe de G engendré par V. Il est ouvert, et d’après le corollaire
de la prop. 2, le groupe G V est limite projective de groupes de la forme
R p × T q × Z r × A, où A est un groupe compact et p, q et r dans N.
Lorsque V parcourt les voisinages compacts de e, ces sous-groupes G V
CLASSIFICATION
§ 2
Proposition 2. — Supposons G compact. Il existe une famille filtrante décroissante (H i ) i∈I de sous-groupes fermés de G tels que
a) le groupe G s’identifie à la limite projective des G/H i ;
b) pour tout i, il existe un entier q 횿 0 et un groupe fini A tels que
G/H i est isomorphe à T q × A.
En effet,
G est discret (prop. 18 de II, p. 233), donc réunion d’une
famille filtrante croissante (D i ) i∈I de sous-groupes de type fini. Posons
H i = D ⊥
i ; le groupe G s’identifie à la limite projective des G/H i (II,
p. 234, cor. 3), et (H i ) est une famille filtrante décroissante.
Soit i ∈ I. Il existe un entier q 0 et un groupe fini A tels que le
groupe D i est isomorphe à Z q × A (A, VII, p. 22, th. 3), donc G/H i
est isomorphe à T q ×
A (cf. corollaire 1 de II, p. 232).
Corollaire. — Si le groupe G est engendré par une partie compacte,
alors il est limite projective de groupes isomorphes à des groupes de la
forme R p × T q × Z r × A, où A est un groupe fini et p, q, r sont des
entiers positifs.
D’après le (ii) de la prop. 1 de II, p. 246, le corollaire résulte de la
prop. 2.
2. Cas général
Dans ce numéro, G désigne un groupe localement compact commutatif.
Proposition 3. —
a) Il existe un entier n 0 et un sous-groupe L
tel que G est produit direct de L et d’un sous-groupe isomorphe à R n ,
et de plus L admet un sous-groupe ouvert compact K tel que L/K est
discret ;
b) Le groupe G est réunion d’une famille filtrante croissante de sousgroupes ouverts, chacun étant limite projective de groupes isomorphes
à des groupes de la forme R p × T q × Z r × A, où A est un groupe fini
et p, q, r sont des entiers positifs.
Démontrons b). Pour tout voisinage compact V de e, notons G V le
sous-groupe de G engendré par V. Il est ouvert, et d’après le corollaire
de la prop. 2, le groupe G V est limite projective de groupes de la forme
R p × T q × Z r × A, où A est un groupe compact et p, q et r dans N.
Lorsque V parcourt les voisinages compacts de e, ces sous-groupes G V