N
o 1
GROUPES ENGENDRÉS PAR UNE PARTIE COMPACTE
TS II.247
sous-groupe compact maximal de G, et les entiers (p, q) sont déterminés de manière unique par G.
L’assertion a) résulte de la prop. 1. Soit alors K un groupe compact,
et p, q des entiers positifs. Supposons que G soit isomorphe au groupe
R p × Z q × K, et identifions G à ce groupe. Par la projection canonique
de G sur R p × Z q , l’image de tout sous-groupe compact de G est un
sous-groupe compact de R p × Z q , donc est réduit à l’élément neutre.
Donc K ⊂ K et K est le plus grand sous-groupe compact de G. Le
sous-groupe R p × K est aussi unique car R p est la composante neutre
de G/K. Compte tenu de TG, VII, p. 13, cor. 3, l’entier p est déterminé
de manière unique par G. Puisque G/(R p × K) est isomorphe à Z q ,
l’entier q est également déterminé de manière unique par G.
Remarque. — Par dualité,
G est isomorphe à R p × T q × D (prop. 3
(iv)) où les sous-groupes R p × T q et T q , et les entiers p et q, sont
déterminés de manière unique.
Corollaire 2. — Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) Les groupes G et
G sont engendrés par des parties compactes ;
(ii) Il existe des entiers positifs n et m tels que G est localement
isomorphe à R m et
G à R n ;
(iii) Il existe des entiers positifs p, q et r et un groupe fini A tels
que G est isomorphe à R p × T q × Z r × A ;
(iv) Il existe des entiers positifs p, q et r et un groupe fini A tels
que
G est isomorphe à un produit R p × Z q × T r × A.
On a (i) ⇔ (ii) d’après la prop. 1, et (iii) ⇔ (iv) par dualité, donc (iii)
⇒ (i). Finalement, si (i) est vrai, alors
G est isomorphe à R p × T r × D
où D est discret (prop. 1). Le groupe D est engendré par une partie
compacte, donc finie, de D. Par conséquent, il existe q 0 tel que D
soit isomorphe à Z q × A, où A est un groupe fini (A, VII, p. 22, th. 3).
Remarque. — Avec les notations du cor. 2, si l’on identifie G à R p ×
T q × Z r × A, le sous-groupe R p × T q est la composante neutre de G,
le sous-groupe T q × A est son plus grand sous-groupe compact et T q
est la composante neutre de celui-ci ; les entiers p, q, r sont déterminés
de manière unique par G d’après la remarque précédente, et le groupe
A est déterminé par G à isomorphisme près.
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GROUPES ENGENDRÉS PAR UNE PARTIE COMPACTE
TS II.247
sous-groupe compact maximal de G, et les entiers (p, q) sont déterminés de manière unique par G.
L’assertion a) résulte de la prop. 1. Soit alors K un groupe compact,
et p, q des entiers positifs. Supposons que G soit isomorphe au groupe
R p × Z q × K, et identifions G à ce groupe. Par la projection canonique
de G sur R p × Z q , l’image de tout sous-groupe compact de G est un
sous-groupe compact de R p × Z q , donc est réduit à l’élément neutre.
Donc K ⊂ K et K est le plus grand sous-groupe compact de G. Le
sous-groupe R p × K est aussi unique car R p est la composante neutre
de G/K. Compte tenu de TG, VII, p. 13, cor. 3, l’entier p est déterminé
de manière unique par G. Puisque G/(R p × K) est isomorphe à Z q ,
l’entier q est également déterminé de manière unique par G.
Remarque. — Par dualité,
G est isomorphe à R p × T q × D (prop. 3
(iv)) où les sous-groupes R p × T q et T q , et les entiers p et q, sont
déterminés de manière unique.
Corollaire 2. — Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) Les groupes G et
G sont engendrés par des parties compactes ;
(ii) Il existe des entiers positifs n et m tels que G est localement
isomorphe à R m et
G à R n ;
(iii) Il existe des entiers positifs p, q et r et un groupe fini A tels
que G est isomorphe à R p × T q × Z r × A ;
(iv) Il existe des entiers positifs p, q et r et un groupe fini A tels
que
G est isomorphe à un produit R p × Z q × T r × A.
On a (i) ⇔ (ii) d’après la prop. 1, et (iii) ⇔ (iv) par dualité, donc (iii)
⇒ (i). Finalement, si (i) est vrai, alors
G est isomorphe à R p × T r × D
où D est discret (prop. 1). Le groupe D est engendré par une partie
compacte, donc finie, de D. Par conséquent, il existe q 0 tel que D
soit isomorphe à Z q × A, où A est un groupe fini (A, VII, p. 22, th. 3).
Remarque. — Avec les notations du cor. 2, si l’on identifie G à R p ×
T q × Z r × A, le sous-groupe R p × T q est la composante neutre de G,
le sous-groupe T q × A est son plus grand sous-groupe compact et T q
est la composante neutre de celui-ci ; les entiers p, q, r sont déterminés
de manière unique par G d’après la remarque précédente, et le groupe
A est déterminé par G à isomorphisme près.