TS II.246
CLASSIFICATION
§ 2
Remarque. — Dans le langage des catégories, le lemme dit que les
groupes divisibles sont des objets injectifs dans la catégorie des groupes
commutatifs ; cf. A, VII, p. 53, exerc. 3.
Proposition 1. — Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) G est engendré par une partie compacte ;
(ii) il existe des entiers positifs p et q et un groupe compact K tels
que G soit isomorphe à R p × Z q × K ;
(iii) il existe un entier n 0 tel que
G est localement isomorphe
à R n ;
(iv) il existe des entiers positifs p et q et un groupe discret D tels
que
G soit isomorphe à R p × T q × D.
(i) =⇒ (iii) : si G possède la propriété (i), il existe un entier n 0
et un sous-groupe D de G isomorphe à Z n tel que G/D soit compact
(lemme 2). Alors D ⊥ , qui s’identifie au dual de G/D, est discret (th. 4
de II, p. 226 et prop. 18 de II, p. 233). Donc
G est localement isomorphe
à
G/D ⊥ , c’est-à-dire à
D, qui est isomorphe à T n (th. 4 de II, p. 226
et prop. 18 de II, p. 233). Or T n est localement isomorphe à R n .
(iii) =⇒ (iv) : si
G est localement isomorphe à R n , il existe un entier
p tel que 0 p n de sorte que la composante neutre
G 0 de
G soit un
sous-groupe ouvert isomorphe à R p × T n−p (TG, VII, p. 13, th. 1). En
particulier,
G 0 est un groupe divisible. Appliquons alors le lemme 3 à
l’application identique du sous-groupe
G 0 du groupe
G dans le groupe
divisible
G 0 . Il existe donc un morphisme π de
G dans
G 0 qui est
l’application identique sur
G 0 . Par conséquent, on a π ◦ π = π, et π
est un projecteur. Il est continu, puisque sa restriction au sous-groupe
ouvert
G 0 l’est. Par suite,
G est produit direct de
G 0 et du sous-groupe
−1
π (e), qui est discret puisque isomorphe à
G/
G 0 (TG, III, p. 47, cor.)
(iv) =⇒ (ii) : découle de la prop. 2 de II, p. 206, de la prop. 18 de
II, p. 233 et du corollaire 3 de II, p. 236.
(ii) =⇒ (i) : pour tout groupe compact K, le groupe R p × Z q × K
est engendré par l’ensemble compact [0, 1] p × {0, 1} q × K.
Corollaire 1. — Supposons que G soit engendré par un voisinage
compact de e.
a) Il existe un sous-groupe compact K de G et des entiers positifs p
et q tels que G soit isomorphe à R p × Z q × K.
b) Inversement, soient K un groupe compact, p et q des entiers positifs, et G un groupe isomorphe à R p × Z q × K. Alors K est l’unique
CLASSIFICATION
§ 2
Remarque. — Dans le langage des catégories, le lemme dit que les
groupes divisibles sont des objets injectifs dans la catégorie des groupes
commutatifs ; cf. A, VII, p. 53, exerc. 3.
Proposition 1. — Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) G est engendré par une partie compacte ;
(ii) il existe des entiers positifs p et q et un groupe compact K tels
que G soit isomorphe à R p × Z q × K ;
(iii) il existe un entier n 0 tel que
G est localement isomorphe
à R n ;
(iv) il existe des entiers positifs p et q et un groupe discret D tels
que
G soit isomorphe à R p × T q × D.
(i) =⇒ (iii) : si G possède la propriété (i), il existe un entier n 0
et un sous-groupe D de G isomorphe à Z n tel que G/D soit compact
(lemme 2). Alors D ⊥ , qui s’identifie au dual de G/D, est discret (th. 4
de II, p. 226 et prop. 18 de II, p. 233). Donc
G est localement isomorphe
à
G/D ⊥ , c’est-à-dire à
D, qui est isomorphe à T n (th. 4 de II, p. 226
et prop. 18 de II, p. 233). Or T n est localement isomorphe à R n .
(iii) =⇒ (iv) : si
G est localement isomorphe à R n , il existe un entier
p tel que 0 p n de sorte que la composante neutre
G 0 de
G soit un
sous-groupe ouvert isomorphe à R p × T n−p (TG, VII, p. 13, th. 1). En
particulier,
G 0 est un groupe divisible. Appliquons alors le lemme 3 à
l’application identique du sous-groupe
G 0 du groupe
G dans le groupe
divisible
G 0 . Il existe donc un morphisme π de
G dans
G 0 qui est
l’application identique sur
G 0 . Par conséquent, on a π ◦ π = π, et π
est un projecteur. Il est continu, puisque sa restriction au sous-groupe
ouvert
G 0 l’est. Par suite,
G est produit direct de
G 0 et du sous-groupe
−1
π (e), qui est discret puisque isomorphe à
G/
G 0 (TG, III, p. 47, cor.)
(iv) =⇒ (ii) : découle de la prop. 2 de II, p. 206, de la prop. 18 de
II, p. 233 et du corollaire 3 de II, p. 236.
(ii) =⇒ (i) : pour tout groupe compact K, le groupe R p × Z q × K
est engendré par l’ensemble compact [0, 1] p × {0, 1} q × K.
Corollaire 1. — Supposons que G soit engendré par un voisinage
compact de e.
a) Il existe un sous-groupe compact K de G et des entiers positifs p
et q tels que G soit isomorphe à R p × Z q × K.
b) Inversement, soient K un groupe compact, p et q des entiers positifs, et G un groupe isomorphe à R p × Z q × K. Alors K est l’unique