N
o 1
GROUPES ENGENDRÉS PAR UNE PARTIE COMPACTE
TS II.245
Quitte à remplacer V par V ∪ V −1 , on peut supposer que V est symétrique ; l’hypothèse signifie alors que G est la réunion des ensembles
V n où n ∈ N.
Comme V 2 est compact, il existe un entier k 1 et des éléments
x 1 , . . . , x k ∈ G tels que V 2 ⊂
1ik x i V. Soit D 0 le sous-groupe de
G engendré par la famille (x i ) 1ik . On a V 2 ⊂ D 0 V, d’où par récurrence V n ⊂ D 0 V pour tout entier n 1, et donc G = D 0 V puisque
V engendre G. Soit alors J une partie de {1, 2, . . . , k} telle que le
sous-groupe D engendré par la famille (x i ) i∈J soit topologiquement
isomorphe à Z Card(J) , et maximale pour cette propriété. Montrons que
G/D est compact.
Soit p la surjection canonique de G sur G/D. Soit i ∈ {1, 2, . . . , k} J.
Si le sous-groupe H i de G/D engendré par p(x i ) est topologiquement
isomorphe à Z, le sous-groupe de G engendré par D et x i est discret
et l’application (d, n) → dx n
i est un isomorphisme de D × Z sur ce
sous-groupe, contrairement à la maximalité de J. Le lemme 1 entraîne
donc que H i est compact. Donc G/D = (
i ∈J H i )p(V) est compact
Lemme 3. — Soient A et B des groupes commutatifs tels que A est
divisible. Soit C un sous-groupe de B et ϕ un morphisme de C dans
A. Il existe un morphisme de B dans A qui prolonge ϕ.
Soit O l’ensemble des couples (X, f ), où X est un sous-groupe de B
contenant C et f un morphisme de X dans A prolongeant ϕ. Ordonnons
O par la relation « X ⊂ X et f prolonge f ». On vérifie que O est
inductif. Soit (X, f ) un élément maximal de O (E, III, p. 20 , th. 2). Si
X = B, prenons un élément b de B X et soit X le sous-groupe engendré
par X et b. La commutativité de B montre que X est l’ensemble des
éléments b n x pour n ∈ Z et x ∈ X. Supposons d’abord que b n ∈ X
pour tout entier n = 0 et définissons f de X dans A en prenant un
élément y ∈ A arbitraire et en posant f (b n x) = y n f (x) pour tout
n ∈ Z et tout x ∈ X. Comme A est commutatif, f est un morphisme,
et il prolonge f . Supposons maintenant qu’il existe n = 0 tel que
b n ∈ X et soit m > 0 tel que mZ = {n ∈ Z | b n ∈ X}. Puisque A est
divisible, il existe un élément y ∈ A tel que y m = f (b m ). On prolonge
alors f en un morphisme de X dans A par f (b n x) = y n f (x) pour
n ∈ {0, 1, . . . , m − 1} et x ∈ X. Dans les deux cas, (X, f ) ne serait pas
maximal. Donc on a X = B et le lemme est démontré.
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GROUPES ENGENDRÉS PAR UNE PARTIE COMPACTE
TS II.245
Quitte à remplacer V par V ∪ V −1 , on peut supposer que V est symétrique ; l’hypothèse signifie alors que G est la réunion des ensembles
V n où n ∈ N.
Comme V 2 est compact, il existe un entier k 1 et des éléments
x 1 , . . . , x k ∈ G tels que V 2 ⊂
1ik x i V. Soit D 0 le sous-groupe de
G engendré par la famille (x i ) 1ik . On a V 2 ⊂ D 0 V, d’où par récurrence V n ⊂ D 0 V pour tout entier n 1, et donc G = D 0 V puisque
V engendre G. Soit alors J une partie de {1, 2, . . . , k} telle que le
sous-groupe D engendré par la famille (x i ) i∈J soit topologiquement
isomorphe à Z Card(J) , et maximale pour cette propriété. Montrons que
G/D est compact.
Soit p la surjection canonique de G sur G/D. Soit i ∈ {1, 2, . . . , k} J.
Si le sous-groupe H i de G/D engendré par p(x i ) est topologiquement
isomorphe à Z, le sous-groupe de G engendré par D et x i est discret
et l’application (d, n) → dx n
i est un isomorphisme de D × Z sur ce
sous-groupe, contrairement à la maximalité de J. Le lemme 1 entraîne
donc que H i est compact. Donc G/D = (
i ∈J H i )p(V) est compact
Lemme 3. — Soient A et B des groupes commutatifs tels que A est
divisible. Soit C un sous-groupe de B et ϕ un morphisme de C dans
A. Il existe un morphisme de B dans A qui prolonge ϕ.
Soit O l’ensemble des couples (X, f ), où X est un sous-groupe de B
contenant C et f un morphisme de X dans A prolongeant ϕ. Ordonnons
O par la relation « X ⊂ X et f prolonge f ». On vérifie que O est
inductif. Soit (X, f ) un élément maximal de O (E, III, p. 20 , th. 2). Si
X = B, prenons un élément b de B X et soit X le sous-groupe engendré
par X et b. La commutativité de B montre que X est l’ensemble des
éléments b n x pour n ∈ Z et x ∈ X. Supposons d’abord que b n ∈ X
pour tout entier n = 0 et définissons f de X dans A en prenant un
élément y ∈ A arbitraire et en posant f (b n x) = y n f (x) pour tout
n ∈ Z et tout x ∈ X. Comme A est commutatif, f est un morphisme,
et il prolonge f . Supposons maintenant qu’il existe n = 0 tel que
b n ∈ X et soit m > 0 tel que mZ = {n ∈ Z | b n ∈ X}. Puisque A est
divisible, il existe un élément y ∈ A tel que y m = f (b m ). On prolonge
alors f en un morphisme de X dans A par f (b n x) = y n f (x) pour
n ∈ {0, 1, . . . , m − 1} et x ∈ X. Dans les deux cas, (X, f ) ne serait pas
maximal. Donc on a X = B et le lemme est démontré.