TS II.244
TRANSFORMATION DE FOURIER
§ 1
§ 2. CLASSIFICATION
1. Groupes engendrés par une partie compacte
Lemme 1. — Soit H un groupe localement compact, et soit R l’un des
groupes R ou Z. Soit ϕ un morphisme continu de R dans H. Si ϕ n’est
pas un isomorphisme topologique de R sur un sous-groupe de H, alors
l’image de R dans H est relativement compacte.
Soit I l’image de ϕ. Quitte à remplacer H par I, on peut supposer
que I est dense dans H. On doit alors montrer que H est compact si ϕ
n’est pas un isomorphisme topologique de R sur I.
Supposons qu’il existe un voisinage V de e dans H et un entier
M > 0 tels que, pour tout t > M dans R, on ait ϕ(t) ∈ V. Alors ϕ
est injective : si ϕ(u) = e, on a ϕ(nu) = e pour tout entier n 1,
donc l’ensemble Nu est borné dans R, ce qui signifie que u = 0. La
restriction de ϕ à [−M, M] ∩ R est donc un homéomorphisme sur son
image, qui contient V ∩ I. La restriction de ϕ −1 à V ∩ I étant continue,
il s’ensuit que ϕ est un isomorphisme topologique de R sur I.
Supposons maintenant que ϕ n’est pas un isomorphisme topologique
de R sur I. Soient W un voisinage ouvert relativement compact de e
dans H, et V un voisinage symétrique de e tel que V 2 ⊂ W. Pour
tout x ∈ H = I, il existe un élément s ∈ R tel que x ∈ ϕ(s)V.
D’après l’alinéa précédent et l’hypothèse sur ϕ, il existe t ∈ R tel
que t > |s| et ϕ(t) ∈ V. On a alors x ∈ ϕ(t + s)ϕ(t) −1 V ⊂ ϕ(t + s)W,
et t+s > 0. Par suite, les ensembles ouverts ϕ(u)W pour u > 0 forment
un recouvrement ouvert de H. Comme W est relativement compact,
il existe un entier n 1 et des éléments u 1 , . . . , u n de R, strictement
positifs, tels que W ⊂
1in ϕ(u i )W. Soit U le plus grand des u i .
Soit x ∈ H et soit s = inf{t ∈ R|t 0, ϕ(t)x −1 ∈ W}. Comme
W est compact, on a alors ϕ(s)x −1 ∈ W. Il existe un entier i tel que
ϕ(s)x −1 ∈ ϕ(u i )W, d’où ϕ(s − u i )x −1 ∈ W. La définition de s entraîne
s − u i < 0, d’où s U. Il en résulte que H = ϕ([0, U] ∩ R)W est
compact.
Lemme 2. — Si G est engendré par une partie compacte V, il existe
un entier n 0 et un sous-groupe discret D de G isomorphe à Z n tels
que G/D soit compact.
TRANSFORMATION DE FOURIER
§ 1
§ 2. CLASSIFICATION
1. Groupes engendrés par une partie compacte
Lemme 1. — Soit H un groupe localement compact, et soit R l’un des
groupes R ou Z. Soit ϕ un morphisme continu de R dans H. Si ϕ n’est
pas un isomorphisme topologique de R sur un sous-groupe de H, alors
l’image de R dans H est relativement compacte.
Soit I l’image de ϕ. Quitte à remplacer H par I, on peut supposer
que I est dense dans H. On doit alors montrer que H est compact si ϕ
n’est pas un isomorphisme topologique de R sur I.
Supposons qu’il existe un voisinage V de e dans H et un entier
M > 0 tels que, pour tout t > M dans R, on ait ϕ(t) ∈ V. Alors ϕ
est injective : si ϕ(u) = e, on a ϕ(nu) = e pour tout entier n 1,
donc l’ensemble Nu est borné dans R, ce qui signifie que u = 0. La
restriction de ϕ à [−M, M] ∩ R est donc un homéomorphisme sur son
image, qui contient V ∩ I. La restriction de ϕ −1 à V ∩ I étant continue,
il s’ensuit que ϕ est un isomorphisme topologique de R sur I.
Supposons maintenant que ϕ n’est pas un isomorphisme topologique
de R sur I. Soient W un voisinage ouvert relativement compact de e
dans H, et V un voisinage symétrique de e tel que V 2 ⊂ W. Pour
tout x ∈ H = I, il existe un élément s ∈ R tel que x ∈ ϕ(s)V.
D’après l’alinéa précédent et l’hypothèse sur ϕ, il existe t ∈ R tel
que t > |s| et ϕ(t) ∈ V. On a alors x ∈ ϕ(t + s)ϕ(t) −1 V ⊂ ϕ(t + s)W,
et t+s > 0. Par suite, les ensembles ouverts ϕ(u)W pour u > 0 forment
un recouvrement ouvert de H. Comme W est relativement compact,
il existe un entier n 1 et des éléments u 1 , . . . , u n de R, strictement
positifs, tels que W ⊂
1in ϕ(u i )W. Soit U le plus grand des u i .
Soit x ∈ H et soit s = inf{t ∈ R|t 0, ϕ(t)x −1 ∈ W}. Comme
W est compact, on a alors ϕ(s)x −1 ∈ W. Il existe un entier i tel que
ϕ(s)x −1 ∈ ϕ(u i )W, d’où ϕ(s − u i )x −1 ∈ W. La définition de s entraîne
s − u i < 0, d’où s U. Il en résulte que H = ϕ([0, U] ∩ R)W est
compact.
Lemme 2. — Si G est engendré par une partie compacte V, il existe
un entier n 0 et un sous-groupe discret D de G isomorphe à Z n tels
que G/D soit compact.