N
o 9 TRANSFORMÉE ET SÉRIES DE FOURIER EUCLIDIENNES TS II.243
la fonction caractéristique de K. Posons ϕ = ψ ∗ ψ. C’est un élément
de A(T) à support contenu dans U. Le nombre réel m = ϕ(0) est la
mesure de l’ensemble K et donc m > 0. De plus, il vient 0 ϕ m
puisque ϕ(x) est la mesure de l’ensemble K ∩ xK. On a
µ N (U)
1
m
T
ϕ(x) µ N (x) =
1
m
h∈Z
F (ϕ)(h)ϕ N (h)
d’après les propriétés de transposition de la transformation de Fourier (prop. 13 de II, p. 221). Puisque ϕ ∈ A(T), sa transformée de
Fourier appartient à L 1 (Z) et ϕ vérifie la formule d’inversion de Fourier (prop. 11 de II, p. 217). Comme ϕ N (h) → 1 pour tout h ∈ Z et
|ϕ N (h)| 1, le théorème de Lebesgue (INT, IV, §3, n
o 7, th. 6) et la
formule d’inversion de Fourier impliquent que
lim inf
N→+∞
µ N (U)
1
m
lim
N→+∞
h∈Z
F (ϕ)(h)ϕ N (h) =
1
m
h∈Z
F (ϕ)(h) =
1
m
ϕ(0) = 1.
Démontrons la proposition. On a f ∗ F N = f N pour N 1. La
représentation régulière γ de T n dans C (T n ) (INT, VIII, §2, n
o 3) est
continue et vérifie f ∗ F N = γ(µ N )f (INT, VIII, §4, n
o 5, prop. 5 (iv)).
L’application µ → γ(µ)f est continue de M 1 (T n ) dans C (T n ) (INT,
VI, §1, n
o 6, prop. 14). D’après le lemme, on a donc
lim
N→+∞
f N = lim
N→+∞
f ∗ F N = lim
N→+∞
γ(µ N )f = γ(ε 0 )(f ) = f
dans C (T n ).
Remarque. — Il existe des fonctions f ∈ L 1 (T) dont la série de Fourier
diverge en tout point x ∈ T (théorème de Kolmogorov, cf. exercice 51
de II, p. 289).
Un théorème de Carleson (1) démontre que les sommes partielles symétriques de la série de Fourier de f convergent vers f (x) pour presque
tout x ∈ T si f ∈ L 2 (T).
(1) L. Carleson, On convergence and growth of partial sums of Fourier series, Acta
Mathematica 116 (1), 1966, p. 135–157.