TS II.242
TRANSFORMATION DE FOURIER
§ 1
Pour f ∈ L 2 (T n ), la formule d’inversion de Fourier (prop. 12 de II,
p. 219) dit que, si la série de terme général
f (h) converge absolument,
on a
f (x) =
h∈Z n
f (h)e
2iπh·x
pour presque tout x dans T n .
Cependant, même si f est continue, la série de Fourier de f ne
converge en général pas vers f (x) pour tout x (exerc. 30 de II, p. 274).
Le résultat suivant est d’autant plus utile.
Proposition 23 (Théorème de Fejér). — Soit n 1 un entier. Pour
tout h = (h i ) ∈ Z n , on note |h| = sup i |h i |. Soit f ∈ C (T n ). Pour tout
entier N 1, notons f N la fonction sur T n telle que
f N (x) =
h∈Z n
|h|N
f (h)e
2iπh·x
n
j=1
1 −
|h j |
N
pour x ∈ T n . Alors f N converge vers f dans C (T n ).
Lemme 11. — Pour tout N 1, soit µ N la mesure sur T n de densité
l’application continue
F N : x →
h∈Z
|h|N
e
2iπh·x
n
j=1
1 −
|h j |
N
.
La suite des mesures (µ N ) N1 converge vers ε 0 dans l’espace M 1 (T n )
muni de la topologie de la convergence compacte dans C (T n ).
On se ramène au cas n = 1 en notant que µ N est le produit de
mesures du même type pour n = 1. Il suffit alors de vérifier que la
suite (µ N ) satisfait aux hypothèses du lemme 4 de INT, VIII, §2, n
o 7
avec a = 0.
Pour cela, notons tout d’abord que F N est la cotransformée de Fourier de l’application ϕ N : h → (1 − |h|/N) sur Z. Celle-ci s’écrit ϕ N =
N −1 ψ N ∗
ψ N , où ψ N est la fonction caractéristique de l’ensemble défini
par −N/2 < |h| N/2. Par conséquent, F N = N −1 |F (ψ N )| 2 0.
Ainsi, µ N est une mesure positive ; on a µ N (T) = 1, ce qui démontre
(i) et (iii) dans loc. cit.
Démontrons la condition (ii) de loc. cit. Soit U un voisinage ouvert
de 0 dans T. Il suffit de démontrer que µ N (U) → 1 quand N → +∞.
Soient K un voisinage compact symétrique de 0 tel que K 2 ⊂ U et ψ
TRANSFORMATION DE FOURIER
§ 1
Pour f ∈ L 2 (T n ), la formule d’inversion de Fourier (prop. 12 de II,
p. 219) dit que, si la série de terme général
f (h) converge absolument,
on a
f (x) =
h∈Z n
f (h)e
2iπh·x
pour presque tout x dans T n .
Cependant, même si f est continue, la série de Fourier de f ne
converge en général pas vers f (x) pour tout x (exerc. 30 de II, p. 274).
Le résultat suivant est d’autant plus utile.
Proposition 23 (Théorème de Fejér). — Soit n 1 un entier. Pour
tout h = (h i ) ∈ Z n , on note |h| = sup i |h i |. Soit f ∈ C (T n ). Pour tout
entier N 1, notons f N la fonction sur T n telle que
f N (x) =
h∈Z n
|h|N
f (h)e
2iπh·x
n
j=1
1 −
|h j |
N
pour x ∈ T n . Alors f N converge vers f dans C (T n ).
Lemme 11. — Pour tout N 1, soit µ N la mesure sur T n de densité
l’application continue
F N : x →
h∈Z
|h|N
e
2iπh·x
n
j=1
1 −
|h j |
N
.
La suite des mesures (µ N ) N1 converge vers ε 0 dans l’espace M 1 (T n )
muni de la topologie de la convergence compacte dans C (T n ).
On se ramène au cas n = 1 en notant que µ N est le produit de
mesures du même type pour n = 1. Il suffit alors de vérifier que la
suite (µ N ) satisfait aux hypothèses du lemme 4 de INT, VIII, §2, n
o 7
avec a = 0.
Pour cela, notons tout d’abord que F N est la cotransformée de Fourier de l’application ϕ N : h → (1 − |h|/N) sur Z. Celle-ci s’écrit ϕ N =
N −1 ψ N ∗
ψ N , où ψ N est la fonction caractéristique de l’ensemble défini
par −N/2 < |h| N/2. Par conséquent, F N = N −1 |F (ψ N )| 2 0.
Ainsi, µ N est une mesure positive ; on a µ N (T) = 1, ce qui démontre
(i) et (iii) dans loc. cit.
Démontrons la condition (ii) de loc. cit. Soit U un voisinage ouvert
de 0 dans T. Il suffit de démontrer que µ N (U) → 1 quand N → +∞.
Soient K un voisinage compact symétrique de 0 tel que K 2 ⊂ U et ψ