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o 9 TRANSFORMÉE ET SÉRIES DE FOURIER EUCLIDIENNES TS II.241
S (R n ) est la distribution tempérée associée à la transformée de Fourier de f dans C 0 (R n ) (resp. dans L 2 (R n )). Il en est de même pour
la cotransformation de Fourier.
Remarque. — Les formules élémentaires concernant la transformation
de Fourier des mesures restent valides pour la transformation de Fourier des distributions tempérées.
Ainsi, si α ∈ N n et f ∈ S (R n ), on a
F (∂
α f ) = (2iπ)
|α| X
α
F (f ),
F (X
α f ) = (−2iπ)
−|α| ∂
α (F (f )).
Soit y ∈ R n . Notons γ(y) l’endomorphisme de S (R n ) défini par
γ(y)f, ϕ = f, γ(−y)ϕ
pour f ∈ S (R n ) et ϕ ∈ S (R n ). Notons e y le caractère de R n tel que
e y (x) = exp(2iπx · y). Alors e y ∈ S (R n ). On a F (e y ) = ε y , et plus
généralement
F (e y f ) = γ(y)F (f )
pour tout f ∈ S (R n ). ∗
Soient n 1 un entier et G = T n , muni de la mesure de Haar normalisée. Le groupe dual de G s’identifie à Z n par l’application h → χ h ,
où χ h est le caractère unitaire de T n obtenu par passage au quotient
à partir du caractère x → exp(2iπh · x) de R n (corollaire 3 de II,
p. 236). La transformée de Fourier d’une mesure µ sur T n s’identifie à
la famille ( µ(h)) h∈Z n où
µ(h) =
T n
e
−2iπh·x dµ(x).
La série
h∈Z n
µ(h)χ h
est appelée la série de Fourier de µ.
Si f ∈ L 1 (T n ) est telle que sa série de Fourier converge absolument
dans L 1 (Z n ), on a alors f ∈ C (T n ) et
f (x) =
h∈Z n
f (h)e
2iπh·x
pour tout x ∈ T n (théorème 3 de II, p. 222), où
f (h) =
T n
f (x)e
−2iπh·x dx,
h ∈ Z
n .