TS II.240
TRANSFORMATION DE FOURIER
§ 1
Soit α ∈ N n . On note encore f → X α f la transposée de l’endomorphisme ϕ → X α ϕ de S (R n ), et on note f → ∂ α f l’endomorphisme de
S (R n ) défini par
∂
α f, ϕ = (−1)
|α| f, ∂
α ϕ
pour f ∈ S (R n ) et ϕ ∈ S (R n ).
Soit f une application linéaire de S (R n ) dans C. Alors f est
une distribution tempérée si, et seulement si, pour toute famille
(M k,α ) (k,α)∈N×N n dans R + , la forme linéaire f est bornée sur l’ensemble des fonctions ϕ ∈ S (R n ) telles que pour tout (k, α) ∈ N × N n ,
on a p k,α (ϕ) M k,α .
Une suite (f m ) m∈N de distributions tempérées converge vers une
distribution tempérée f si, et seulement si, on a f m , ϕ → →f, ϕ훀 pour
tout ϕ ∈ S (R n ).
Exemple. — Une mesure ν sur R n est dite tempérée s’il existe un entier
positif r tel que l’application continue x → (1+x) −r est ν-intégrable
sur R n . La restriction de ν à S (R n ) est une distribution tempérée.
Elle est nulle si et seulement si la mesure ν est nulle.
Soit p ∈ [1, +∞] et f ∈ L p (R n ). Alors la mesure f · dx de densité
f par rapport à la mesure de Lebesgue est tempérée. En particulier,
la mesure de Lebesgue µ sur R n est tempérée, et toute mesure bornée
sur R n est tempérée.
Pour tout p ∈ [1, +∞], on peut identifier L p (R n ) à un sous-espace
de S (R n ) par l’application linéaire f → f · dx ; cette application est
continue.
Définition 7. — On appelle transformation de Fourier sur S (R n ),
et on note F (resp. on appelle cotransformation de Fourier, et on
note F ) la transposée de la transformation de Fourier sur S (R n )
(resp. de la cotransformation de Fourier).
Pour f ∈ S (R n ), la distribution tempérée F (f ) (resp. F (f ))
est définie par ϕ → →f, F (ϕ) pour ϕ ∈ S (R n ) (resp. par ϕ →
f, F (ϕ)).
La transformation de Fourier sur S (R n ) est un automorphisme
d’espaces vectoriels topologiques dont l’inverse est la cotransformation
de Fourier F .
Proposition 22. — Soit f une distribution tempérée appartenant
à M 1 (R n ) (resp. à L 2 (R n )). La transformée de Fourier de f dans
TRANSFORMATION DE FOURIER
§ 1
Soit α ∈ N n . On note encore f → X α f la transposée de l’endomorphisme ϕ → X α ϕ de S (R n ), et on note f → ∂ α f l’endomorphisme de
S (R n ) défini par
∂
α f, ϕ = (−1)
|α| f, ∂
α ϕ
pour f ∈ S (R n ) et ϕ ∈ S (R n ).
Soit f une application linéaire de S (R n ) dans C. Alors f est
une distribution tempérée si, et seulement si, pour toute famille
(M k,α ) (k,α)∈N×N n dans R + , la forme linéaire f est bornée sur l’ensemble des fonctions ϕ ∈ S (R n ) telles que pour tout (k, α) ∈ N × N n ,
on a p k,α (ϕ) M k,α .
Une suite (f m ) m∈N de distributions tempérées converge vers une
distribution tempérée f si, et seulement si, on a f m , ϕ → →f, ϕ훀 pour
tout ϕ ∈ S (R n ).
Exemple. — Une mesure ν sur R n est dite tempérée s’il existe un entier
positif r tel que l’application continue x → (1+x) −r est ν-intégrable
sur R n . La restriction de ν à S (R n ) est une distribution tempérée.
Elle est nulle si et seulement si la mesure ν est nulle.
Soit p ∈ [1, +∞] et f ∈ L p (R n ). Alors la mesure f · dx de densité
f par rapport à la mesure de Lebesgue est tempérée. En particulier,
la mesure de Lebesgue µ sur R n est tempérée, et toute mesure bornée
sur R n est tempérée.
Pour tout p ∈ [1, +∞], on peut identifier L p (R n ) à un sous-espace
de S (R n ) par l’application linéaire f → f · dx ; cette application est
continue.
Définition 7. — On appelle transformation de Fourier sur S (R n ),
et on note F (resp. on appelle cotransformation de Fourier, et on
note F ) la transposée de la transformation de Fourier sur S (R n )
(resp. de la cotransformation de Fourier).
Pour f ∈ S (R n ), la distribution tempérée F (f ) (resp. F (f ))
est définie par ϕ → →f, F (ϕ) pour ϕ ∈ S (R n ) (resp. par ϕ →
f, F (ϕ)).
La transformation de Fourier sur S (R n ) est un automorphisme
d’espaces vectoriels topologiques dont l’inverse est la cotransformation
de Fourier F .
Proposition 22. — Soit f une distribution tempérée appartenant
à M 1 (R n ) (resp. à L 2 (R n )). La transformée de Fourier de f dans