N
o 9 TRANSFORMÉE ET SÉRIES DE FOURIER EUCLIDIENNES TS II.239
On appelle covolume du réseau Λ, et on note V(Λ), la mesure de
R n /Λ pour la mesure de Haar induite par la mesure de Lebesgue
sur R n (cf. INT, VIII, §5, n
o 5, exemple). Pour toute fonction f ∈
S (R n ) et tout y ∈ R n , on a la formule de Poisson
x∈Λ
f (x + y) =
1
V(Λ)
z∈Λ ∗
f (z) exp(2iπ y · z).
Remarques. — 1) Plus généralement, d’après le corollaire de la proposition 15 de II, p. 230, cette formule vaut pour toute fonction complexe
intégrable sur R n telle que
x∈Λ
|f (x + y)| < +∞,
pour tout y ∈ R n et telle que la fonction sur T n définie par
y →
x∈Λ
f (x + y)
est continue et admet une série de Fourier (cf. ci-dessous) absolument
convergente.
2) Il existe des fonctions f ∈ B(R) telles que la série
n∈Z f (n)
diverge (exercice 4 de II, p. 263).
Exemple. — Soit Q une forme quadratique définie positive sur R n .
La fonction définie par ϕ(x) = exp(−πQ(x)) appartient à S (R n ). Il
existe σ ∈ GL(n, R) tel que Q(x) = σ(x) 2 pour tout x ∈ R n . La
transformée de Fourier de ϕ est donnée pour tout y ∈ R n par
ϕ(y) =
1
|det(σ)|
exp(−πQ
∗ (y))
où Q ∗ (y) = t σ −1 (y) 2 (cf. INT, IX, §6, n
o 4–5 et exercice 1, c) de II,
p. 262).
Définition 6. — On appelle espace des distributions tempérées
sur R n l’espace dual de S (R n ) muni de la topologie de la convergence
bornée. On le note S (R n ).
Puisque S (R n ) est bornologique, l’espace S (R n ) est complet et
bornologique (EVT, III, p. 24, cor. 1 et 2). Comme S (R n ) est un
espace de Montel, il en est de même de S (R n ) (EVT, IV, p. 19,
prop. 9).