TS II.238
TRANSFORMATION DE FOURIER
§ 1
et de son dual (IV, à paraître). Nous en résumons ici les résultats
principaux.
Soit S (R n ) l’espace des fonctions indéfiniment dérivables ϕ sur R n ,
à valeurs complexes, telles que, pour tout multi-indice α ∈ N n et tout
entier k ∈ N, la fonction
x → →x
k ∂
α ϕ(x)
est bornée sur R n . On munit S (R n ) de la topologie localement
convexe définie par les semi-normes
p k,α : ϕ → sup
x∈R n
x
k |∂
α ϕ(x)|.
On dit que S (R n ) est l’espace des fonctions de Schwartz sur R n .
Pour tout α ∈ N n , les applications ϕ → ∂ α ϕ et ϕ → X α ϕ sont
continues de S (R n ) dans lui-même. L’espace S (R n ) est une algèbre
topologique ; c’est un espace de Fréchet et un espace de Montel (EVT
IV, p. 18, déf. 4). Pour tout p ∈ [1, +∞], l’espace S (R n ) est contenu
dans L p (R n ) et l’injection canonique de S (R n ) dans L p (R n ) est
continue. L’image de S (R n ) dans L p (R n ) est dense si p = +∞.
Comme toute fonction de Schwartz ϕ est intégrable sur R n , elle
admet une transformée de Fourier notée
ϕ qui s’identifie à la fonction
continue sur R n définie par
y →
R n
ϕ(x) exp(−2iπ x · y)dx.
La cotransformée de Fourier de ϕ s’identifie, quand à elle, à la fonction
continue définie par
y →
R n
ϕ(x) exp(2iπ x · y)dx.
Soit ϕ ∈ S (R n ). Soit α ∈ N n un multi-indice. On a
F (∂
α ϕ) = (2iπ)
|α| X
α
F (ϕ),
F (X
α ϕ) = (−2iπ)
−|α| ∂
α (F (ϕ)).
Proposition 21. — La restriction à S (R n ) de la transformation de
Fourier est un automorphisme d’espaces vectoriels topologiques dont
l’inverse est la restriction de la cotransformation de Fourier.
Soit Λ ⊂ R n un réseau (TG, VII, p. 4), et soit Λ ∗ ⊂ R n le réseau
associé (TG, VII, p. 6), aussi parfois appelé réseau dual.
TRANSFORMATION DE FOURIER
§ 1
et de son dual (IV, à paraître). Nous en résumons ici les résultats
principaux.
Soit S (R n ) l’espace des fonctions indéfiniment dérivables ϕ sur R n ,
à valeurs complexes, telles que, pour tout multi-indice α ∈ N n et tout
entier k ∈ N, la fonction
x → →x
k ∂
α ϕ(x)
est bornée sur R n . On munit S (R n ) de la topologie localement
convexe définie par les semi-normes
p k,α : ϕ → sup
x∈R n
x
k |∂
α ϕ(x)|.
On dit que S (R n ) est l’espace des fonctions de Schwartz sur R n .
Pour tout α ∈ N n , les applications ϕ → ∂ α ϕ et ϕ → X α ϕ sont
continues de S (R n ) dans lui-même. L’espace S (R n ) est une algèbre
topologique ; c’est un espace de Fréchet et un espace de Montel (EVT
IV, p. 18, déf. 4). Pour tout p ∈ [1, +∞], l’espace S (R n ) est contenu
dans L p (R n ) et l’injection canonique de S (R n ) dans L p (R n ) est
continue. L’image de S (R n ) dans L p (R n ) est dense si p = +∞.
Comme toute fonction de Schwartz ϕ est intégrable sur R n , elle
admet une transformée de Fourier notée
ϕ qui s’identifie à la fonction
continue sur R n définie par
y →
R n
ϕ(x) exp(−2iπ x · y)dx.
La cotransformée de Fourier de ϕ s’identifie, quand à elle, à la fonction
continue définie par
y →
R n
ϕ(x) exp(2iπ x · y)dx.
Soit ϕ ∈ S (R n ). Soit α ∈ N n un multi-indice. On a
F (∂
α ϕ) = (2iπ)
|α| X
α
F (ϕ),
F (X
α ϕ) = (−2iπ)
−|α| ∂
α (F (ϕ)).
Proposition 21. — La restriction à S (R n ) de la transformation de
Fourier est un automorphisme d’espaces vectoriels topologiques dont
l’inverse est la restriction de la cotransformation de Fourier.
Soit Λ ⊂ R n un réseau (TG, VII, p. 4), et soit Λ ∗ ⊂ R n le réseau
associé (TG, VII, p. 6), aussi parfois appelé réseau dual.