N
o 9 TRANSFORMÉE ET SÉRIES DE FOURIER EUCLIDIENNES TS II.237
un unique entier ν 0 et un unique entier q vérifiant 0 q < p ν tels
que qp −ν − x ∈ Z p (A, VII, p. 10, th. 2, appliqué à l’anneau principal
Z p et à l’ensemble R p des entiers j tels que 0 j < p). On note
λ(x) = qp −ν .
Proposition 20. — L’application x → exp(2iπλ(x)) est un caractère
unitaire de Q p dont le noyau est Z p .
Pour x 1 et x 2 dans Q p , on a par définition λ(x 1 +x 2 )−λ(x 1 )−λ(x 2 ) ∈
Z p ∩ Q = Z. L’application λ est de plus localement constante puisque
λ(x + y) = λ(x) si y ∈ Z p . Il en découle alors que x → exp(2iπλ(x))
est un caractère unitaire de Q p . Comme λ(x) ∈ Z si et seulement si
x ∈ Z p , le noyau de ce caractère est Z p .
On rappelle qu’on appelle mesure de Haar normalisée sur le groupe
additif de Q p l’unique mesure de Haar µ telle que µ(Z p ) = 1 (INT,
VII, §1, n
o 6, exemple).
Corollaire. —
a) Le groupe Q p est en dualité avec lui-même relativement à l’application (x, y) → exp(2iπλ(xy)). La mesure de Haar
normalisée sur Q p est alors sa propre duale ;
b) Les groupes Z p et Q p /Z p sont en dualité relativement à l’application obtenue par passage au quotient à partir de l’application définie
par (z, x) → exp(2iπλ(zx)), et la mesure duale de la mesure de Haar
normalisée sur Z p est la mesure de comptage sur Q p /Z p .
La démonstration suit pas à pas celle du cor. 2 de la prop. 19.
9. Transformée de Fourier euclidienne et séries de Fourier
∗ Soit n ∈ N. On identifie R n et son dual comme dans le cor. 3
de II, p. 236. La mesure duale de la mesure de Lebesgue est alors
la mesure de Lebesgue. On munit R n de la norme euclidienne. Pour
tout multi-indice α ∈ N n , et tout x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ R n , on notera
x α = x
α 1
1 · · · x αn
n , et on note X α la fonction x → x α sur R n .
Soit m ∈ R m . Tout morphisme continu de groupes commutatifs
de R m dans R n est une application linéaire σ ∈ L (R n , R m ) (TG,
VII, p. 11, prop. 1). Le morphisme dual
σ s’identifie à l’application
linéaire t σ.
La transformation de Fourier dans R n prend une forme particulièrement pratique dans le cadre de l’espace des fonctions de Schwartz
o 9 TRANSFORMÉE ET SÉRIES DE FOURIER EUCLIDIENNES TS II.237
un unique entier ν 0 et un unique entier q vérifiant 0 q < p ν tels
que qp −ν − x ∈ Z p (A, VII, p. 10, th. 2, appliqué à l’anneau principal
Z p et à l’ensemble R p des entiers j tels que 0 j < p). On note
λ(x) = qp −ν .
Proposition 20. — L’application x → exp(2iπλ(x)) est un caractère
unitaire de Q p dont le noyau est Z p .
Pour x 1 et x 2 dans Q p , on a par définition λ(x 1 +x 2 )−λ(x 1 )−λ(x 2 ) ∈
Z p ∩ Q = Z. L’application λ est de plus localement constante puisque
λ(x + y) = λ(x) si y ∈ Z p . Il en découle alors que x → exp(2iπλ(x))
est un caractère unitaire de Q p . Comme λ(x) ∈ Z si et seulement si
x ∈ Z p , le noyau de ce caractère est Z p .
On rappelle qu’on appelle mesure de Haar normalisée sur le groupe
additif de Q p l’unique mesure de Haar µ telle que µ(Z p ) = 1 (INT,
VII, §1, n
o 6, exemple).
Corollaire. —
a) Le groupe Q p est en dualité avec lui-même relativement à l’application (x, y) → exp(2iπλ(xy)). La mesure de Haar
normalisée sur Q p est alors sa propre duale ;
b) Les groupes Z p et Q p /Z p sont en dualité relativement à l’application obtenue par passage au quotient à partir de l’application définie
par (z, x) → exp(2iπλ(zx)), et la mesure duale de la mesure de Haar
normalisée sur Z p est la mesure de comptage sur Q p /Z p .
La démonstration suit pas à pas celle du cor. 2 de la prop. 19.
9. Transformée de Fourier euclidienne et séries de Fourier
∗ Soit n ∈ N. On identifie R n et son dual comme dans le cor. 3
de II, p. 236. La mesure duale de la mesure de Lebesgue est alors
la mesure de Lebesgue. On munit R n de la norme euclidienne. Pour
tout multi-indice α ∈ N n , et tout x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ R n , on notera
x α = x
α 1
1 · · · x αn
n , et on note X α la fonction x → x α sur R n .
Soit m ∈ R m . Tout morphisme continu de groupes commutatifs
de R m dans R n est une application linéaire σ ∈ L (R n , R m ) (TG,
VII, p. 11, prop. 1). Le morphisme dual
σ s’identifie à l’application
linéaire t σ.
La transformation de Fourier dans R n prend une forme particulièrement pratique dans le cadre de l’espace des fonctions de Schwartz