TS II.236
TRANSFORMATION DE FOURIER
§ 1
mesure de Haar
γ est la mesure de comptage sur Z (loc. cit.). D’après
la prop. 16 de II, p. 231, la mesure duale de β est donc la mesure β.
Remarque. — On retrouve en particulier la détermination de X(L 1 (Z))
faite à l’exemple 4 de I, p. 36.
Pour tout entier n 0 et (x, y) ∈ R n × R n , on note
x · y =
n
j=1
x j y j .
Corollaire 3. — Soit n 1 un entier. Le groupe R n est en dualité
avec lui-même relativement à l’application (x, y) → exp(2iπ x · y) et
la mesure duale de la mesure de Lebesgue sur R n est la mesure de
Lebesgue. Les groupes Z n et T n = R n /Z n sont en dualité relativement
à l’application obtenue par passage au quotient à partir de l’application
(n, x) → exp(2iπ x · y), et la mesure de Haar duale de la mesure de
comptage sur Z n est la mesure de Haar normalisée sur (R/Z) n .
Ceci résulte du lemme 7 de II, p. 225, de la proposition 10 de II,
p. 217 et du corollaire 2.
Remarque. — Étant donné un sous-groupe H de R n , il lui correspond
donc son orthogonal H ⊥ , un sous-groupe de
R n = R n , qui n’est autre
que le sous-groupe associé à H défini en TG, VII, p. 6, n
o 3.
Dans la suite, on identifiera le dual de R n (resp. de T n ) avec
R n (resp. avec Z n ) par la dualité du corollaire. En particulier, pour
f ∈ L 1 (R n ), sa transformée de Fourier s’identifie à la fonction de R n
dans C qui à y ∈ R n associe
F (f )(y) =
R n
f (x) exp(−2iπ x · y)dx.
Corollaire 4. — Le groupe R ∗ est en dualité avec le groupe
{−1, 1} × R par l’application (x, (σ, t)) → σ(x/|x|)|x| it . Le groupe R ∗
+
est en dualité avec R par l’application (x, t) → x it .
En effet, l’application x → (x/|x|, log(|x|)) est un isomorphisme de
groupes topologiques de R ∗ sur {−1, 1} × R. L’assertion résulte alors
du lemme 7 de II, p. 225, du corollaire 2 et du fait que les caractères
unitaires de {−1, 1} sont 1 et x → x.
Soit p un nombre premier. Le corps Q p des nombres p-adiques est
le complété de Q pour la valuation p-adique (INT, VII, § 1, n
o 6,
exemple, et AC, VI, § 3, n
o 4, exemple 4). Pour tout x ∈ Q p , il existe
TRANSFORMATION DE FOURIER
§ 1
mesure de Haar
γ est la mesure de comptage sur Z (loc. cit.). D’après
la prop. 16 de II, p. 231, la mesure duale de β est donc la mesure β.
Remarque. — On retrouve en particulier la détermination de X(L 1 (Z))
faite à l’exemple 4 de I, p. 36.
Pour tout entier n 0 et (x, y) ∈ R n × R n , on note
x · y =
n
j=1
x j y j .
Corollaire 3. — Soit n 1 un entier. Le groupe R n est en dualité
avec lui-même relativement à l’application (x, y) → exp(2iπ x · y) et
la mesure duale de la mesure de Lebesgue sur R n est la mesure de
Lebesgue. Les groupes Z n et T n = R n /Z n sont en dualité relativement
à l’application obtenue par passage au quotient à partir de l’application
(n, x) → exp(2iπ x · y), et la mesure de Haar duale de la mesure de
comptage sur Z n est la mesure de Haar normalisée sur (R/Z) n .
Ceci résulte du lemme 7 de II, p. 225, de la proposition 10 de II,
p. 217 et du corollaire 2.
Remarque. — Étant donné un sous-groupe H de R n , il lui correspond
donc son orthogonal H ⊥ , un sous-groupe de
R n = R n , qui n’est autre
que le sous-groupe associé à H défini en TG, VII, p. 6, n
o 3.
Dans la suite, on identifiera le dual de R n (resp. de T n ) avec
R n (resp. avec Z n ) par la dualité du corollaire. En particulier, pour
f ∈ L 1 (R n ), sa transformée de Fourier s’identifie à la fonction de R n
dans C qui à y ∈ R n associe
F (f )(y) =
R n
f (x) exp(−2iπ x · y)dx.
Corollaire 4. — Le groupe R ∗ est en dualité avec le groupe
{−1, 1} × R par l’application (x, (σ, t)) → σ(x/|x|)|x| it . Le groupe R ∗
+
est en dualité avec R par l’application (x, t) → x it .
En effet, l’application x → (x/|x|, log(|x|)) est un isomorphisme de
groupes topologiques de R ∗ sur {−1, 1} × R. L’assertion résulte alors
du lemme 7 de II, p. 225, du corollaire 2 et du fait que les caractères
unitaires de {−1, 1} sont 1 et x → x.
Soit p un nombre premier. Le corps Q p des nombres p-adiques est
le complété de Q pour la valuation p-adique (INT, VII, § 1, n
o 6,
exemple, et AC, VI, § 3, n
o 4, exemple 4). Pour tout x ∈ Q p , il existe