N
o 8
EXEMPLES DE DUALITÉ
TS II.235
χ(x 0 ) = 1 ; notons η = |χ(x 0 ) − 1| > 0. Soit U un voisinage de 0
dans K. Il existe δ > 0 tel que U contienne l’ensemble des y ∈ K
tels que |y| < δ. Soit V l’ensemble des caractères ξ ∈
G tels que
||ξ, x − 1| < η pour tout élément x ∈ K vérifiant |x| |x 0 |/δ. C’est
un voisinage de e dans
G. Si y = 0 est tel que β(y) appartient à V, on
a donc |χ(xy) − 1| < |χ(x 0 ) − 1| pour tout x tel que |x| |x 0 |/δ. Par
conséquent, on a |x 0 y −1 | > |x 0 |/δ, et donc |y| < δ, de sorte que y ∈ U.
Puisque β est un homéomorphisme sur son image, celle-ci est fermée
dans
G (TG, III, p. 22, cor. 2). Mais par ailleurs l’orthogonal de l’image
de β est l’ensemble des éléments x de G tel que χ(xy) = 1 pour tout
y ∈ G, et est donc réduit à {0}. L’image de β est donc dense dans
G
(corollaire 3 de II, p. 228). On conclut que β est surjective.
Corollaire 1. — Soient K un corps localement compact non discret
non nécessairement commutatif et χ un caractère unitaire non trivial
du groupe additif de K. Soit E un espace vectoriel topologique de dimension finie sur K. L’application θ de E × E dans U définie par
θ(x, λ) = χ(λ, x) pour (λ, x) ∈ E × E met les groupes topologiques E
et E en dualité.
Soient n la dimension de E et (e 1 , . . . , e n ) une base de E. Elle permet
d’identifier E et K n (EVT, I, p. 14, th. 2). Le résultat découle alors de
la prop. 19 et de la prop. 2 de II, p. 206.
On note T le groupe R/Z.
Corollaire 2. —
a) Le groupe R est en dualité avec lui-même
relativement à l’application (x, y) → exp(2iπxy), et la mesure duale
de la mesure de Lebesgue est la mesure de Lebesgue ;
b) Les groupes Z et T sont en dualité relativement à l’application
obtenue par passage au quotient à partir de l’application de Z × R
dans U telle que (n, x) → exp(2iπnx). La mesure de Haar duale de la
mesure de comptage sur Z est la mesure de Haar normalisée sur R/Z.
Le groupe R est en dualité avec lui-même relativement à l’application (x, y) → exp(2iπxy) d’après la prop. 19. Identifions
R à R.
L’orthogonal de Z dans
R = R est alors Z, et b) résulte du th. 4 de
II, p. 226.
Soient α la mesure de comptage sur Z et γ la mesure de Haar normalisée sur T. Si β désigne la mesure de Lebesgue sur R, on a γ = β/α,
puisque ces deux mesures de Haar sur R/Z sont de masse 1. La mesure
de Haar
α sur
Z = T est la mesure de Haar normalisée (prop. 18), et la
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EXEMPLES DE DUALITÉ
TS II.235
χ(x 0 ) = 1 ; notons η = |χ(x 0 ) − 1| > 0. Soit U un voisinage de 0
dans K. Il existe δ > 0 tel que U contienne l’ensemble des y ∈ K
tels que |y| < δ. Soit V l’ensemble des caractères ξ ∈
G tels que
||ξ, x − 1| < η pour tout élément x ∈ K vérifiant |x| |x 0 |/δ. C’est
un voisinage de e dans
G. Si y = 0 est tel que β(y) appartient à V, on
a donc |χ(xy) − 1| < |χ(x 0 ) − 1| pour tout x tel que |x| |x 0 |/δ. Par
conséquent, on a |x 0 y −1 | > |x 0 |/δ, et donc |y| < δ, de sorte que y ∈ U.
Puisque β est un homéomorphisme sur son image, celle-ci est fermée
dans
G (TG, III, p. 22, cor. 2). Mais par ailleurs l’orthogonal de l’image
de β est l’ensemble des éléments x de G tel que χ(xy) = 1 pour tout
y ∈ G, et est donc réduit à {0}. L’image de β est donc dense dans
G
(corollaire 3 de II, p. 228). On conclut que β est surjective.
Corollaire 1. — Soient K un corps localement compact non discret
non nécessairement commutatif et χ un caractère unitaire non trivial
du groupe additif de K. Soit E un espace vectoriel topologique de dimension finie sur K. L’application θ de E × E dans U définie par
θ(x, λ) = χ(λ, x) pour (λ, x) ∈ E × E met les groupes topologiques E
et E en dualité.
Soient n la dimension de E et (e 1 , . . . , e n ) une base de E. Elle permet
d’identifier E et K n (EVT, I, p. 14, th. 2). Le résultat découle alors de
la prop. 19 et de la prop. 2 de II, p. 206.
On note T le groupe R/Z.
Corollaire 2. —
a) Le groupe R est en dualité avec lui-même
relativement à l’application (x, y) → exp(2iπxy), et la mesure duale
de la mesure de Lebesgue est la mesure de Lebesgue ;
b) Les groupes Z et T sont en dualité relativement à l’application
obtenue par passage au quotient à partir de l’application de Z × R
dans U telle que (n, x) → exp(2iπnx). La mesure de Haar duale de la
mesure de comptage sur Z est la mesure de Haar normalisée sur R/Z.
Le groupe R est en dualité avec lui-même relativement à l’application (x, y) → exp(2iπxy) d’après la prop. 19. Identifions
R à R.
L’orthogonal de Z dans
R = R est alors Z, et b) résulte du th. 4 de
II, p. 226.
Soient α la mesure de comptage sur Z et γ la mesure de Haar normalisée sur T. Si β désigne la mesure de Lebesgue sur R, on a γ = β/α,
puisque ces deux mesures de Haar sur R/Z sont de masse 1. La mesure
de Haar
α sur
Z = T est la mesure de Haar normalisée (prop. 18), et la