TS II.234
TRANSFORMATION DE FOURIER
§ 1
Corollaire 2. — Soit H un sous-groupe fermé de G.
a) Pour que H soit compact, il faut et il suffit que H ⊥ soit ouvert
dans 횿
G ;
b) Pour que H soit ouvert, il faut et il suffit que H ⊥ soit compact
dans
G.
a) Dire que H ⊥ est ouvert revient à dire que
G/H ⊥ est discret,
or
G/H ⊥ est isomorphe à
H (th. 4 de II, p. 226) ; l’assertion découle
donc de la prop. 18. L’assertion b) résulte par dualité de l’assertion a)
appliquée à H ⊥ .
Corollaire 3. — Soit (H i ) i∈I une famille filtrante décroissante de
sous-groupes compacts de G. Pour que G s’identifie à la limite projective des groupes G/H i , il faut et il suffit que
G soit réunion des
sous-groupes ouverts H ⊥
i .
Dire que G s’identifie à la limite projective des G/H i revient à dire
que
i H i = {e} (TG, III, p. 60, prop. 2), c’est-à-dire que
i H ⊥
i est
dense dans
G (cor. 4 du th. 4 de II, p. 226). Or
i H ⊥
i est un sousgroupe ouvert, donc fermé, de
G.
Corollaire 4. — Soit I un ensemble et soit (H i ) i∈I une famille de
groupes compacts. Le dual du groupe produit des H i est le groupe discret
somme directe des groupes
H i .
C’est un cas particulier du cor. 3.
Proposition 19. — Soit K un corps localement compact non discret,
non nécessairement commutatif, et soit G le groupe additif de K, dont
la loi de groupe est notée additivement. Soit χ un caractère unitaire de
G distinct de 1. Pour x, y ∈ G, posons θ(x, y) = χ(xy). Alors G est
en dualité avec lui-même relativement à θ.
Pour y ∈ G, soit χ y l’application de G dans U telle que χ y (x) =
χ(xy). On a χ y ∈
G, et il faut démontrer que β : y → χ y est un
isomorphisme de groupes topologiques de G dans
G.
L’application β est un homomorphisme injectif de G dans
G ; elle
est continue (TG, X, p. 28, th. 3 appliqué à l’application continue θ
de G × G dans C). Démontrons que θ est un homéomorphisme sur
son image. Il suffit (lemme 2 de II, p. 200) de démontrer que pour
tout voisinage U de 0 dans K, il existe un voisinage V de e dans
G
tel que
−1
β (V) ⊂ U. Soit x → |x| une valeur absolue sur K définissant
la topologie de K (AC, VI, §9, n
o 1, prop. 1), et soit x 0 ∈ K tel que
TRANSFORMATION DE FOURIER
§ 1
Corollaire 2. — Soit H un sous-groupe fermé de G.
a) Pour que H soit compact, il faut et il suffit que H ⊥ soit ouvert
dans 횿
G ;
b) Pour que H soit ouvert, il faut et il suffit que H ⊥ soit compact
dans
G.
a) Dire que H ⊥ est ouvert revient à dire que
G/H ⊥ est discret,
or
G/H ⊥ est isomorphe à
H (th. 4 de II, p. 226) ; l’assertion découle
donc de la prop. 18. L’assertion b) résulte par dualité de l’assertion a)
appliquée à H ⊥ .
Corollaire 3. — Soit (H i ) i∈I une famille filtrante décroissante de
sous-groupes compacts de G. Pour que G s’identifie à la limite projective des groupes G/H i , il faut et il suffit que
G soit réunion des
sous-groupes ouverts H ⊥
i .
Dire que G s’identifie à la limite projective des G/H i revient à dire
que
i H i = {e} (TG, III, p. 60, prop. 2), c’est-à-dire que
i H ⊥
i est
dense dans
G (cor. 4 du th. 4 de II, p. 226). Or
i H ⊥
i est un sousgroupe ouvert, donc fermé, de
G.
Corollaire 4. — Soit I un ensemble et soit (H i ) i∈I une famille de
groupes compacts. Le dual du groupe produit des H i est le groupe discret
somme directe des groupes
H i .
C’est un cas particulier du cor. 3.
Proposition 19. — Soit K un corps localement compact non discret,
non nécessairement commutatif, et soit G le groupe additif de K, dont
la loi de groupe est notée additivement. Soit χ un caractère unitaire de
G distinct de 1. Pour x, y ∈ G, posons θ(x, y) = χ(xy). Alors G est
en dualité avec lui-même relativement à θ.
Pour y ∈ G, soit χ y l’application de G dans U telle que χ y (x) =
χ(xy). On a χ y ∈
G, et il faut démontrer que β : y → χ y est un
isomorphisme de groupes topologiques de G dans
G.
L’application β est un homomorphisme injectif de G dans
G ; elle
est continue (TG, X, p. 28, th. 3 appliqué à l’application continue θ
de G × G dans C). Démontrons que θ est un homéomorphisme sur
son image. Il suffit (lemme 2 de II, p. 200) de démontrer que pour
tout voisinage U de 0 dans K, il existe un voisinage V de e dans
G
tel que
−1
β (V) ⊂ U. Soit x → |x| une valeur absolue sur K définissant
la topologie de K (AC, VI, §9, n
o 1, prop. 1), et soit x 0 ∈ K tel que