N
o 8
EXEMPLES DE DUALITÉ
TS II.233
Le groupe G est isomorphe à un produit fini de groupes cycliques
(A, VII, p. 22, th. 3), et son groupe dual est isomorphe au produit des
groupes duaux de ceux-ci (prop. 2 de II, p. 206). On est donc ramené
au cas où G est cyclique, qui relève de la proposition 17 puisque le
groupe µ n est cyclique d’ordre n (A, V, p. 75, th. 1).
Corollaire 2. — Soit G un groupe localement compact commutatif.
Le groupe G est fini si et seulement si
G est fini. Un sous-groupe
fermé H de G est d’indice fini si et seulement si son orthogonal est
fini.
Par dualité, la première assertion découle du fait que le dual d’un
groupe fini est fini (corollaire 1). La seconde en résulte, puisque
G/H
s’identifie à H ⊥ (th. 4 de II, p. 226).
Proposition 18. — Pour que
G soit compact, il faut et il suffit que G
soit discret. Si G est discret, la mesure duale de la mesure de comptage
sur G est la mesure de Haar normalisée sur
G. Si G est compact,
la mesure duale de la mesure de Haar normalisée est la mesure de
comptage sur
G.
Supposons G discret, et soit α la mesure de comptage sur G. Soit ϕ
la fonction caractéristique de e ∈ G. On a F G (ϕ) = 1 sur
G. Comme
F G (ϕ) tend vers 0 à l’infini, le groupe
G est compact.
En outre, pour la mesure duale
α de α, la fonction F G (ϕ) doit être
d’intégrale ϕ(e) = 1 (prop. 12 de II, p. 219). Donc
α(
G) = 1.
Supposons G compact. Alors la mesure de Haar dx appartient
à M 1 (G). Sa transformée de Fourier est strictement positive en χ = e
et nulle pour χ = 0 (prop. 6 de II, p. 210). Puisque elle est continue
sur
G, le groupe
G est discret. Si la mesure de G est 1, on déduit par
dualité du cas précédent que la mesure duale de la mesure dx est la
mesure de comptage sur
G.
Corollaire 1 (Relations d’orthogonalité). — Supposons G discret
et muni de la mesure de comptage. Pour x et y dans G, on a
G
χ(x)χ(y)dχ =
0 si x = y
1 si x = y.
Cela résulte du cor. du théo. 1 de II, p. 215 et de la dualité.
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EXEMPLES DE DUALITÉ
TS II.233
Le groupe G est isomorphe à un produit fini de groupes cycliques
(A, VII, p. 22, th. 3), et son groupe dual est isomorphe au produit des
groupes duaux de ceux-ci (prop. 2 de II, p. 206). On est donc ramené
au cas où G est cyclique, qui relève de la proposition 17 puisque le
groupe µ n est cyclique d’ordre n (A, V, p. 75, th. 1).
Corollaire 2. — Soit G un groupe localement compact commutatif.
Le groupe G est fini si et seulement si
G est fini. Un sous-groupe
fermé H de G est d’indice fini si et seulement si son orthogonal est
fini.
Par dualité, la première assertion découle du fait que le dual d’un
groupe fini est fini (corollaire 1). La seconde en résulte, puisque
G/H
s’identifie à H ⊥ (th. 4 de II, p. 226).
Proposition 18. — Pour que
G soit compact, il faut et il suffit que G
soit discret. Si G est discret, la mesure duale de la mesure de comptage
sur G est la mesure de Haar normalisée sur
G. Si G est compact,
la mesure duale de la mesure de Haar normalisée est la mesure de
comptage sur
G.
Supposons G discret, et soit α la mesure de comptage sur G. Soit ϕ
la fonction caractéristique de e ∈ G. On a F G (ϕ) = 1 sur
G. Comme
F G (ϕ) tend vers 0 à l’infini, le groupe
G est compact.
En outre, pour la mesure duale
α de α, la fonction F G (ϕ) doit être
d’intégrale ϕ(e) = 1 (prop. 12 de II, p. 219). Donc
α(
G) = 1.
Supposons G compact. Alors la mesure de Haar dx appartient
à M 1 (G). Sa transformée de Fourier est strictement positive en χ = e
et nulle pour χ = 0 (prop. 6 de II, p. 210). Puisque elle est continue
sur
G, le groupe
G est discret. Si la mesure de G est 1, on déduit par
dualité du cas précédent que la mesure duale de la mesure dx est la
mesure de comptage sur
G.
Corollaire 1 (Relations d’orthogonalité). — Supposons G discret
et muni de la mesure de comptage. Pour x et y dans G, on a
G
χ(x)χ(y)dχ =
0 si x = y
1 si x = y.
Cela résulte du cor. du théo. 1 de II, p. 215 et de la dualité.