TS II.232
TRANSFORMATION DE FOURIER
§ 1
dont la valeur en ξ ∈ H ⊥ est
G/H
ξ, ˙
xχ, xϕ(x, χ)dγ( ˙
x) =
G/H
H
χξ, xyf (xy)dα(y)
dγ( ˙
x)
=
G
χξ, xf (x)dβ(x) = F G (f )(χξ)
d’après la formule (33). Donc
(36)
G/H
|ϕ(x, χ)|
2 dγ( ˙
x) =
H ⊥
|F G (f )(χξ)|
2 d γ(ξ)
par la formule de Plancherel de nouveau.
On calcule alors finalement
G
|F G (f )|
2 d
β =
G
|f |
2 dβ
(par (23))
=
G/H
dγ( ˙
x)
H
|f (xy)|
2 dα(y)
(par (33))
=
G/H
dγ( ˙
x)
G/H ⊥
|ϕ(x, χ)|
2 d α( ˙
χ)
(par (35))
=
G/H ⊥
d α( ˙
χ)
G/H
|ϕ(x, χ)|
2 dγ( ˙
x)
=
G/H ⊥
d α( ˙
χ)
H ⊥
|F G (f )(χξ)|
2 d γ(ξ) (par (36)),
où on a appliqué INT, V, §8, n
o 3, prop. 5 à la fonction continue positive
( ˙
x, ˙
χ) → |ϕ(x, χ)| 2 sur G/H ×
G/H ⊥ .
En comparant cette égalité avec la formule d’intégration (33) pour le
groupe
G, on conclut alors que les mesures de Haar
α et
β/ γ coïncident.
8. Exemples de dualité
Proposition 17. — Soit n 1 un entier. Notons µ n le groupe des
racines n-ièmes de l’unité dans C. Les groupes Z/nZ et µ n sont en
dualité relativement à l’application induite par passage au quotient de
l’application Z × µ n → U définie par (m, z) → z m .
Le groupe
Z/nZ coïncide avec l’ensemble des homomorphismes χ
de Z/nZ dans U. Ceux-ci sont de la forme m → χ(1) m où χ(1) est un
élément quelconque de U tel que χ(1) n = 1, d’où le résultat.
Corollaire 1. — Soit G un groupe fini commutatif. Le groupe dual
G
est isomorphe à G.
TRANSFORMATION DE FOURIER
§ 1
dont la valeur en ξ ∈ H ⊥ est
G/H
ξ, ˙
xχ, xϕ(x, χ)dγ( ˙
x) =
G/H
H
χξ, xyf (xy)dα(y)
dγ( ˙
x)
=
G
χξ, xf (x)dβ(x) = F G (f )(χξ)
d’après la formule (33). Donc
(36)
G/H
|ϕ(x, χ)|
2 dγ( ˙
x) =
H ⊥
|F G (f )(χξ)|
2 d γ(ξ)
par la formule de Plancherel de nouveau.
On calcule alors finalement
G
|F G (f )|
2 d
β =
G
|f |
2 dβ
(par (23))
=
G/H
dγ( ˙
x)
H
|f (xy)|
2 dα(y)
(par (33))
=
G/H
dγ( ˙
x)
G/H ⊥
|ϕ(x, χ)|
2 d α( ˙
χ)
(par (35))
=
G/H ⊥
d α( ˙
χ)
G/H
|ϕ(x, χ)|
2 dγ( ˙
x)
=
G/H ⊥
d α( ˙
χ)
H ⊥
|F G (f )(χξ)|
2 d γ(ξ) (par (36)),
où on a appliqué INT, V, §8, n
o 3, prop. 5 à la fonction continue positive
( ˙
x, ˙
χ) → |ϕ(x, χ)| 2 sur G/H ×
G/H ⊥ .
En comparant cette égalité avec la formule d’intégration (33) pour le
groupe
G, on conclut alors que les mesures de Haar
α et
β/ γ coïncident.
8. Exemples de dualité
Proposition 17. — Soit n 1 un entier. Notons µ n le groupe des
racines n-ièmes de l’unité dans C. Les groupes Z/nZ et µ n sont en
dualité relativement à l’application induite par passage au quotient de
l’application Z × µ n → U définie par (m, z) → z m .
Le groupe
Z/nZ coïncide avec l’ensemble des homomorphismes χ
de Z/nZ dans U. Ceux-ci sont de la forme m → χ(1) m où χ(1) est un
élément quelconque de U tel que χ(1) n = 1, d’où le résultat.
Corollaire 1. — Soit G un groupe fini commutatif. Le groupe dual
G
est isomorphe à G.