N
o 7
LA FORMULE DE POISSON
TS II.231
F
G/H
(F G/H (f )). Pour presque tout ˙
x ∈ G/H, on a donc
f
( ˙
x) =
H ⊥
χ, xF G/H (f
)(χ)d γ(χ) =
H ⊥
χ, xF G (f )(χ)d γ(χ).
Cela conclut la preuve.
Corollaire (Formule de Poisson). — Soit f ∈ L 1 (G). On suppose
que les conditions suivantes sont vérifiées :
(i) La restriction de F G (f ) à H ⊥ est intégrable ;
(ii) Pour tout x ∈ G, la fonction y → f (xy) sur H est intégrable ;
(iii) L’application x →
H f (xy)dα(y) est continue sur G.
Alors on a
(34)
H
f (y)dα(y) =
H ⊥
F G (f )(χ)d γ(χ).
En effet, reprenant les notations de la preuve de la proposition précédente, les fonctions f et F
G/H
(F G/H (f )) sur G/H sont continues et
égales presque partout. Elle sont donc égales partout et en particulier
en e, ce qui donne la formule (34).
Proposition 16. — La mesure
α sur
H =
G/H ⊥ est égale à
β/ γ.
Fixons f ∈ K (G) non nulle. Pour x ∈ G et χ ∈
G, posons
ϕ(x, χ) =
H
f (xy)χ, ydα(y).
La fonction ϕ est continue sur G×
G (INT, IV, §4, n
o 3, cor. 1 du th. 2).
Pour x fixé, ϕ(x, χ) ne dépend que de la classe de χ dans
G/H ⊥ =
H.
Pour χ fixé, χ, xϕ(x, χ) ne dépend que de la classe de x dans G/H,
et la fonction ˙
x → →χ, xϕ(x, χ) sur G/H est à support compact.
Soit x ∈ G. La fonction ˙
χ → ϕ(x, χ) sur
H est la cotransformée de
Fourier de la fonction y → f (xy) sur H. Celle-ci est de carré intégrable,
donc d’après la formule de Plancherel (23) de II, p. 217, on a
(35)
G/H ⊥
|ϕ(x, χ)|
2 d α( ˙
χ) =
H
|f (xy)|
2 dα(y).
Soit χ ∈
G. La fonction ˙
x → →χ, xϕ(x, χ) appartient à K (G/H),
donc à L 1 (G/H). Sa cotransformée de Fourier est la fonction sur H ⊥
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LA FORMULE DE POISSON
TS II.231
F
G/H
(F G/H (f )). Pour presque tout ˙
x ∈ G/H, on a donc
f
( ˙
x) =
H ⊥
χ, xF G/H (f
)(χ)d γ(χ) =
H ⊥
χ, xF G (f )(χ)d γ(χ).
Cela conclut la preuve.
Corollaire (Formule de Poisson). — Soit f ∈ L 1 (G). On suppose
que les conditions suivantes sont vérifiées :
(i) La restriction de F G (f ) à H ⊥ est intégrable ;
(ii) Pour tout x ∈ G, la fonction y → f (xy) sur H est intégrable ;
(iii) L’application x →
H f (xy)dα(y) est continue sur G.
Alors on a
(34)
H
f (y)dα(y) =
H ⊥
F G (f )(χ)d γ(χ).
En effet, reprenant les notations de la preuve de la proposition précédente, les fonctions f et F
G/H
(F G/H (f )) sur G/H sont continues et
égales presque partout. Elle sont donc égales partout et en particulier
en e, ce qui donne la formule (34).
Proposition 16. — La mesure
α sur
H =
G/H ⊥ est égale à
β/ γ.
Fixons f ∈ K (G) non nulle. Pour x ∈ G et χ ∈
G, posons
ϕ(x, χ) =
H
f (xy)χ, ydα(y).
La fonction ϕ est continue sur G×
G (INT, IV, §4, n
o 3, cor. 1 du th. 2).
Pour x fixé, ϕ(x, χ) ne dépend que de la classe de χ dans
G/H ⊥ =
H.
Pour χ fixé, χ, xϕ(x, χ) ne dépend que de la classe de x dans G/H,
et la fonction ˙
x → →χ, xϕ(x, χ) sur G/H est à support compact.
Soit x ∈ G. La fonction ˙
χ → ϕ(x, χ) sur
H est la cotransformée de
Fourier de la fonction y → f (xy) sur H. Celle-ci est de carré intégrable,
donc d’après la formule de Plancherel (23) de II, p. 217, on a
(35)
G/H ⊥
|ϕ(x, χ)|
2 d α( ˙
χ) =
H
|f (xy)|
2 dα(y).
Soit χ ∈
G. La fonction ˙
x → →χ, xϕ(x, χ) appartient à K (G/H),
donc à L 1 (G/H). Sa cotransformée de Fourier est la fonction sur H ⊥