TS II.230
TRANSFORMATION DE FOURIER
§ 1
II, p. 226). On identifie aussi
G/H à H ⊥ par l’application duale de la
projection canonique G → G/H (loc. cit.).
On désignera par ˙
x l’image canonique d’un élément x de G dans G/H
et par ˙
χ l’image canonique d’un élément χ de
G dans
G/H ⊥ .
On note γ la mesure de Haar β/α sur G/H (INT, VII, §2, n
o 2, déf. 1
et n
o 7, prop. 10), et
γ la mesure de Haar duale sur H ⊥ . Rappelons
(INT, VII, §2, n
o 3, prop. 5, c)) que la mesure γ est caractérisée par
la propriété suivante : pour toute f ∈ L 1 (G), la fonction y → f (xy)
sur H est α-intégrable pour β-presque tout x ∈ G ; son intégrale ne
dépend que de ˙
x et la fonction définie γ-presque partout sur G/H par
f
: ˙
x →
H
f (xh)dα(h)
appartient à L 1 (G/H, γ) et vérifie
(33)
G/H
f
dγ =
G
f dβ.
Proposition 15. — Soit f ∈ L 1 (G) telle que la restriction à H ⊥ de la
fonction continue F G (f ) est intégrable relativement à
γ. Alors, pour
presque tout x ∈ G, la fonction y → f (xy) sur H est α-intégrable, et
l’on a :
H
f (xy)dα(y) =
H ⊥
χ, xF G (f )(χ)d γ(χ).
D’après ce qui précède, la fonction f définie presque partout sur
G/H par
f
( ˙
x) =
H
f (xy)dα(y)
appartient à L 1 (G/H). La transformée de Fourier de f s’identifie à la
fonction sur H ⊥ =
G/H donnée pour χ ∈ H ⊥ par
F G/H (f
)(χ) =
G/H
χ, ˙
xf
( ˙
x)dγ( ˙
x)
=
G
χ, xf (x)dβ(x) = F G (f )(χ)
d’après la formule (33), appliquée à la fonction intégrable x →
χ, xf (x). Par hypothèse, la fonction F (f )|H ⊥ = F G/H (f ) appartient à L 1 (H ⊥ ), et donc la fonction f appartient à l’espace B(G/H).
Il en résulte (th. 3 de II, p. 222) que f coïncide presque partout avec