N
o 7
LA FORMULE DE POISSON
TS II.229
Corollaire 5. — Soit ϕ : G → H un morphisme de groupes localement compacts commutatifs. Alors le sous-groupe Im(ϕ) de H et le
sous-groupe Ker(
ϕ) de
H sont l’orthogonal l’un de l’autre. En particulier, pour que
ϕ soit injectif, il faut et il suffit que l’image de ϕ soit
dense dans H.
On a Ker(
ϕ) = ϕ(G) ⊥ (lemme 2 de II, p. 205), d’où le résultat
d’après le cor. 3.
Corollaire 6. — Soit k ∈ Z. Alors le noyau de l’homomorphisme
x → x k de G dans G et l’adhérence de l’image du morphisme χ → χ k
de
G dans
G sont l’orthogonal l’un de l’autre.
Cela résulte du corollaire précédent puisque les morphismes x → x k
de G dans G et χ → χ k de
G dans
G sont duaux l’un de l’autre.
Rappelons (A, X, p. 17) qu’un groupe commutatif A est divisible
si, pour tout n ∈ Z non nul, l’application a → a n de A dans A est
surjective.
Corollaire 7. — Soit G un groupe localement compact commutatif.
a) Si G est divisible, alors le groupe dual
G est sans torsion ;
b) Si le groupe dual
G est sans torsion, et si k ∈ Z est non nul, alors
l’image de l’homomorphisme x → x k de G dans G est dense dans G ;
c) Supposons G discret ou compact. Pour que G soit divisible il faut
et il suffit que
G soit sans torsion.
Les assertions a) et b) résultent du cor. 6. Si G est discret ou compact, l’image du morphisme x → x k de G dans G est fermée, et c)
résulte de a) et b).
Remarque. — Il existe des groupes localement compacts commutatifs G qui ne sont pas divisibles et tels que
G est sans torsion (exercice 63 de II, p. 299).
7. La formule de Poisson
Dans ce numéro, on considère un sous-groupe fermé H de G. On
note β = dx la mesure de Haar sur G et
β la mesure de Haar duale
sur
G. On note α une mesure de Haar sur H et
α la mesure de Haar
duale sur le groupe dual
H, que l’on identifie à
G/H ⊥ (théorème 4 de
o 7
LA FORMULE DE POISSON
TS II.229
Corollaire 5. — Soit ϕ : G → H un morphisme de groupes localement compacts commutatifs. Alors le sous-groupe Im(ϕ) de H et le
sous-groupe Ker(
ϕ) de
H sont l’orthogonal l’un de l’autre. En particulier, pour que
ϕ soit injectif, il faut et il suffit que l’image de ϕ soit
dense dans H.
On a Ker(
ϕ) = ϕ(G) ⊥ (lemme 2 de II, p. 205), d’où le résultat
d’après le cor. 3.
Corollaire 6. — Soit k ∈ Z. Alors le noyau de l’homomorphisme
x → x k de G dans G et l’adhérence de l’image du morphisme χ → χ k
de
G dans
G sont l’orthogonal l’un de l’autre.
Cela résulte du corollaire précédent puisque les morphismes x → x k
de G dans G et χ → χ k de
G dans
G sont duaux l’un de l’autre.
Rappelons (A, X, p. 17) qu’un groupe commutatif A est divisible
si, pour tout n ∈ Z non nul, l’application a → a n de A dans A est
surjective.
Corollaire 7. — Soit G un groupe localement compact commutatif.
a) Si G est divisible, alors le groupe dual
G est sans torsion ;
b) Si le groupe dual
G est sans torsion, et si k ∈ Z est non nul, alors
l’image de l’homomorphisme x → x k de G dans G est dense dans G ;
c) Supposons G discret ou compact. Pour que G soit divisible il faut
et il suffit que
G soit sans torsion.
Les assertions a) et b) résultent du cor. 6. Si G est discret ou compact, l’image du morphisme x → x k de G dans G est fermée, et c)
résulte de a) et b).
Remarque. — Il existe des groupes localement compacts commutatifs G qui ne sont pas divisibles et tels que
G est sans torsion (exercice 63 de II, p. 299).
7. La formule de Poisson
Dans ce numéro, on considère un sous-groupe fermé H de G. On
note β = dx la mesure de Haar sur G et
β la mesure de Haar duale
sur
G. On note α une mesure de Haar sur H et
α la mesure de Haar
duale sur le groupe dual
H, que l’on identifie à
G/H ⊥ (théorème 4 de