TS II.228
TRANSFORMATION DE FOURIER
§ 1
f et
g sont stricts et d’après le lemme 10, le noyau de
f est égal à
l’image de
g.
Corollaire 1. — Soit
1 → H
f
−→ G
g
−→ K → 1
une suite exacte de groupes topologiques localement compacts commutatifs. Le morphisme
g induit un isomorphisme entre
K et f (H) ⊥ , et
f
induit par passage au quotient un isomorphisme entre
G/f (H) ⊥ et
H.
D’après le théorème 4, la suite
(32)
1 →
K
g
−→
G
f
−→
H → 1
est exacte. Le morphisme
g induit donc un isomorphisme de
K sur
Ker(
f ) = f (H) ⊥ (lemme 2 de II, p. 205), et
f induit par passage au
quotient un isomorphisme de
G/Ker(
f ) =
G/f (H) ⊥ sur
H (loc. cit.).
Corollaire 2. — Soit f : G → H un morphisme de groupes topologiques localement compacts commutatifs. Le morphisme f est strict si
et seulement si
f est strict.
D’après la décomposition canonique (E, II, p. 44) d’un morphisme
strict, cela résulte des lemmes 8 et 9.
Corollaire 3. — Soit H un sous-groupe de G. On a (H ⊥ ) ⊥ = H.
Puisque H ⊥ = H ⊥ , on peut supposer que H est fermé. Soit
f : H → G l’injection canonique et p : G → G/H la projection canonique. On a H ⊥ = Ker(
f ) (lemme 10). Soit k l’injection canonique
de H ⊥ dans
G. D’après le théorème 4, le morphisme
p induit un isomorphisme
p H :
G/H → H ⊥ de groupes topologiques et on a k ◦
p H =
p.
Par conséquent (corollaire 1), il vient
(H
⊥ )
⊥ = Ker(
k) = Ker(
p H ◦
k) = Ker(p) = H.
Corollaire 4. — Soit I un ensemble et soit (H i ) i∈I une famille de
sous-groupes fermés de G. L’orthogonal du sous-groupe fermé engendré
par les H i est
i∈I H ⊥
i . L’orthogonal de
i H i est le sous-groupe fermé
engendré par les sous-groupes H ⊥
i .
La première assertion découle de la définition de l’orthogonal. En
appliquant ce résultat et le cor. 3 à la famille de sous-groupes fermés
(H ⊥
i ) i∈I de
G, on voit que
i H i est l’orthogonal du sous-groupe fermé
engendré par les sous-groupes H ⊥
i , et la seconde assertion est alors
obtenue par dualité.