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PROPRIÉTÉS FONCTORIELLES DE LA DUALITÉ
TS II.227
dualité, il suffit pour cela de démontrer que son dual
q est un isomorphisme.
Notons L le groupe dual de
G/ Ker(
f ) et p :
G →
G/ Ker(
f ) la
projection canonique. Nous allons d’abord démontrer que
p induit,
par passage aux sous-espaces, un isomorphisme de L sur f (H).
On a q ◦ p =
f , d’où
p ◦
q = f . L’image de
p contient donc f (H).
Comme f est strict, son image f (H) est un sous-groupe localement
compact de G, et est donc fermé (TG, III, p. 22, cor. 2). Soit K =
G/f (H) et considérons la suite exacte
1 → H
f
−→ G
g
−→ K → 1
associée (exemple 1). Par dualité, le morphisme
f ◦
g est trivial et
donc l’image de
g est contenue dans Ker(
f ) = Ker(p). Ainsi p ◦
g est
le morphisme trivial et, à nouveau par dualité, g ◦
p est aussi trivial.
Il en résulte que l’image de
p est contenue dans le noyau de g, qui est
égal à f (H). On conclut que l’image de
p est égale à f (H).
Par ailleurs, puisque p est un morphisme surjectif et strict, le morphisme dual
p est un morphisme injectif strict de L dans G (lemme 8).
Il en résulte que
p induit un isomorphisme de groupes topologiques
de L sur f (H). Puisque
p ◦
q = f , et que f induit un isomorphisme
de H sur son image f (H), le morphisme
q est un isomorphisme.
Lemme 10. — Soit
H
f
−→ G
g
−→ K
une suite exacte de groupes localement compacts commutatifs. Le
noyau de
f est égal à l’image de
g.
L’homomorphisme
f ◦
g est trivial par dualité, donc l’image de
g est
contenue dans le noyau de
f . Réciproquement, soit χ dans le noyau
de
f . Cela signifie que Im(f ) = Ker(g) est contenu dans le noyau
de χ, donc qu’il existe un caractère η de Im(g) tel que η ◦ g = χ.
Puisque l’inclusion de Im(g) dans K est stricte, l’application duale de
restriction des caractères de K à Im(g) est surjective (lemme 9). Il
existe donc un caractère β de K tel que η est la restriction de β, et il
vient χ = β ◦ g =
g(β). On en conclut que le noyau de
f est contenu
dans l’image de
g.
Démontrons maintenant le théorème 4. Il suffit par dualité de
démontrer que la suite
K
g
−→
G
f
−→
H est exacte lorsque la suite
H
f
−→ G
g
−→ K l’est. Or, d’après les lemmes 8 et 9, les morphismes
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PROPRIÉTÉS FONCTORIELLES DE LA DUALITÉ
TS II.227
dualité, il suffit pour cela de démontrer que son dual
q est un isomorphisme.
Notons L le groupe dual de
G/ Ker(
f ) et p :
G →
G/ Ker(
f ) la
projection canonique. Nous allons d’abord démontrer que
p induit,
par passage aux sous-espaces, un isomorphisme de L sur f (H).
On a q ◦ p =
f , d’où
p ◦
q = f . L’image de
p contient donc f (H).
Comme f est strict, son image f (H) est un sous-groupe localement
compact de G, et est donc fermé (TG, III, p. 22, cor. 2). Soit K =
G/f (H) et considérons la suite exacte
1 → H
f
−→ G
g
−→ K → 1
associée (exemple 1). Par dualité, le morphisme
f ◦
g est trivial et
donc l’image de
g est contenue dans Ker(
f ) = Ker(p). Ainsi p ◦
g est
le morphisme trivial et, à nouveau par dualité, g ◦
p est aussi trivial.
Il en résulte que l’image de
p est contenue dans le noyau de g, qui est
égal à f (H). On conclut que l’image de
p est égale à f (H).
Par ailleurs, puisque p est un morphisme surjectif et strict, le morphisme dual
p est un morphisme injectif strict de L dans G (lemme 8).
Il en résulte que
p induit un isomorphisme de groupes topologiques
de L sur f (H). Puisque
p ◦
q = f , et que f induit un isomorphisme
de H sur son image f (H), le morphisme
q est un isomorphisme.
Lemme 10. — Soit
H
f
−→ G
g
−→ K
une suite exacte de groupes localement compacts commutatifs. Le
noyau de
f est égal à l’image de
g.
L’homomorphisme
f ◦
g est trivial par dualité, donc l’image de
g est
contenue dans le noyau de
f . Réciproquement, soit χ dans le noyau
de
f . Cela signifie que Im(f ) = Ker(g) est contenu dans le noyau
de χ, donc qu’il existe un caractère η de Im(g) tel que η ◦ g = χ.
Puisque l’inclusion de Im(g) dans K est stricte, l’application duale de
restriction des caractères de K à Im(g) est surjective (lemme 9). Il
existe donc un caractère β de K tel que η est la restriction de β, et il
vient χ = β ◦ g =
g(β). On en conclut que le noyau de
f est contenu
dans l’image de
g.
Démontrons maintenant le théorème 4. Il suffit par dualité de
démontrer que la suite
K
g
−→
G
f
−→
H est exacte lorsque la suite
H
f
−→ G
g
−→ K l’est. Or, d’après les lemmes 8 et 9, les morphismes