TS II.226
TRANSFORMATION DE FOURIER
§ 1
2) Soit g : G → K un morphisme surjectif strict. La suite
1 → Ker(g)
j
−→ G
g
−→ K → 1,
où j est l’inclusion, est exacte
Théorème 4. — Une suite
H
f
−→ G
g
−→ K
de groupes topologiques localement compacts commutatifs est exacte si,
et seulement si, la suite duale
K
g
−→
G
f
−→
H
est exacte.
Nous commencerons par démontrer quelques lemmes. On notera que
chacun d’entre eux est par ailleurs une conséquence facile de l’assertion
du th. 4.
Lemme 8. — Soit g : G → K un morphisme de groupes topologiques
localement compacts commutatifs. Si le morphisme g est surjectif et
strict, alors
g est injectif et strict.
Puisque g est surjectif, le morphisme
g est injectif (lemme 2 de
II, p. 205). Pour démontrer que
g est un morphisme strict, il suffit
de démontrer que pour tout voisinage U de e dans
K, il existe un
voisinage V de e dans
G tel que
−1
g (V) ⊂ U (lemme 2 de II, p. 200).
Soit U un tel voisinage de e dans
K. Par définition de la topologie
de
K, il existe une partie compacte X de K et un nombre ε > 0 tels
que U contienne l’ensemble des
z ∈
K qui, pour tout z ∈ X, vérifient
|| z, z − 1| < ε. Puisque g est strict et surjectif, il existe, d’après TG,
I, p. 80, prop. 10, une partie compacte X 0 de G telle que g(X 0 ) = X.
Soit V le voisinage de e dans
G formé des éléments χ ∈
G tels que,
pour tout x ∈ X 0 , on ait ||χ, x − 1| < ε. On a alors
−1
g (V) ⊂ U. Cela
démontre l’assertion.
Lemme 9. — Soit f : H → G un morphisme de groupes topologiques
localement compacts. Si le morphisme f est injectif et strict, alors
f
est surjectif et strict.
Supposons que f est injectif et strict. Le morphisme
f induit par
passage au quotient un morphisme q :
G/ Ker(
f ) →
H. Il s’agit de
démontrer que c’est un isomorphisme de groupes topologiques ; par
TRANSFORMATION DE FOURIER
§ 1
2) Soit g : G → K un morphisme surjectif strict. La suite
1 → Ker(g)
j
−→ G
g
−→ K → 1,
où j est l’inclusion, est exacte
Théorème 4. — Une suite
H
f
−→ G
g
−→ K
de groupes topologiques localement compacts commutatifs est exacte si,
et seulement si, la suite duale
K
g
−→
G
f
−→
H
est exacte.
Nous commencerons par démontrer quelques lemmes. On notera que
chacun d’entre eux est par ailleurs une conséquence facile de l’assertion
du th. 4.
Lemme 8. — Soit g : G → K un morphisme de groupes topologiques
localement compacts commutatifs. Si le morphisme g est surjectif et
strict, alors
g est injectif et strict.
Puisque g est surjectif, le morphisme
g est injectif (lemme 2 de
II, p. 205). Pour démontrer que
g est un morphisme strict, il suffit
de démontrer que pour tout voisinage U de e dans
K, il existe un
voisinage V de e dans
G tel que
−1
g (V) ⊂ U (lemme 2 de II, p. 200).
Soit U un tel voisinage de e dans
K. Par définition de la topologie
de
K, il existe une partie compacte X de K et un nombre ε > 0 tels
que U contienne l’ensemble des
z ∈
K qui, pour tout z ∈ X, vérifient
|| z, z − 1| < ε. Puisque g est strict et surjectif, il existe, d’après TG,
I, p. 80, prop. 10, une partie compacte X 0 de G telle que g(X 0 ) = X.
Soit V le voisinage de e dans
G formé des éléments χ ∈
G tels que,
pour tout x ∈ X 0 , on ait ||χ, x − 1| < ε. On a alors
−1
g (V) ⊂ U. Cela
démontre l’assertion.
Lemme 9. — Soit f : H → G un morphisme de groupes topologiques
localement compacts. Si le morphisme f est injectif et strict, alors
f
est surjectif et strict.
Supposons que f est injectif et strict. Le morphisme
f induit par
passage au quotient un morphisme q :
G/ Ker(
f ) →
H. Il s’agit de
démontrer que c’est un isomorphisme de groupes topologiques ; par