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PROPRIÉTÉS FONCTORIELLES DE LA DUALITÉ
TS II.225
sur H obtenue par transport de structure à partir de la mesure duale
de dx.
Lemme 7. — Soient (G i ) i∈I et (H i ) i∈I des familles finies de groupes
topologiques localement compacts. Pour i ∈ I, soit θ i : G i × H i → U
une application qui met les groupes G i et H i en dualité. L’application θ
définie par
θ((g i ), (h i )) =
i∈I
θ i (g i , h i )
met les groupes
G i et
H i en dualité.
Cela résulte de la prop. 2 de II, p. 206 et de la définition qui précède.
Définition 5. — Soient G, H et K des groupes topologiques. Soient
f : H → G et g : G → K des morphismes de groupes topologiques. On
dit que le couple (f, g) est une suite exacte de groupes topologiques,
si c’est une suite exacte de groupes (A, II, p. 10, remarque 5) et si f
et g sont des morphismes stricts.
On représentera une suite exacte par le diagramme
H
f
−→ G
g
−→ K,
et on dira qu’un diagramme
G 1
f 1
−→ G 2
f 2
−→ G 3 → · · · → G n
fn
−→ G n+1
est exact si chaque couple (f i , f i+1 ) pour 1 i n − 1 est exact.
Une suite
1 → H
f
−→ G
g
−→ K → 1
est exacte si et seulement si f est un morphisme injectif strict, g est
un morphisme surjectif strict, et le noyau de g est égal à l’image de f .
Si K est séparé, l’image de f est un sous-groupe fermé de G.
Exemples. — 1) Soit f : H → G un morphisme injectif strict dont
l’image est un sous-groupe distingué. La suite
1 → H
f
−→ G
p
−→ G/f (H) → 1,
où p est la projection canonique, est exacte. En particulier, si H est un
sous-groupe fermé et distingué de G, la suite de groupes topologiques
1 → H
j
−→ G
p
−→ G/H → 1,
où j est l’inclusion et p la projection canonique, est exacte.