TS II.224
TRANSFORMATION DE FOURIER
§ 1
suffit de démontrer que les deux membres de l’égalité sont des fonctions
continues de (f, g) ∈ L 2 (G) × L 2 (G) à valeurs dans C 0 (
G). Or l’application (f, g) → F G (f g) s’obtient en composant l’application continue
(f, g) → f g de L 2 (G) × L 2 (G) dans L 1 (G) et la transformation de Fourier F G de L 1 (G) dans C 0 (
G), qui est également continue. De même,
l’application (f, g) → F G (f ) ∗ F G (g) s’obtient en composant les applications continues (f, g) → (F G (f ), F G (g)) de L 2 (G) × L 2 (G) dans
L 2 (
G) × L 2 (
G) et (h 1 , h 2 ) → h 1 ∗ h 2 de L 2 (
G) × L 2 (
G) dans C 0 (
G)
(INT, VIII, §4, n
o 5, prop. 15).
Remarque. — Voir le n
o 9 et les exercices 22 de II, p. 270 et 31 de
II, p. 275 pour d’autres exemples d’espaces fonctionnels sur lesquels
la transformation de Fourier est un isomorphisme, dans le cas de
groupes G particuliers.
6. Propriétés fonctorielles de la dualité
Soient G et H des groupes localement compacts commutatifs. Rappelons que si ϕ : G → H est un morphisme de groupes topologiques, le
morphisme dual
ϕ :
H →
G est défini par χ, ϕ(x) =
ϕ(χ), x quels
que soient χ ∈
H et x ∈ G. Cette définition montre que
ϕ = ϕ avec
les identifications de G (resp. H) et
G (resp.
H) du théorème 2 de II,
p. 220.
Soit θ une application de G × H dans U. Pour tout x ∈ G (resp.
tout y ∈ H), soit θ x (resp. θ y ) la fonction de G dans U définie par y →
θ(x, y) (resp. la fonction de H dans U définie par x → θ(x, y)). Supposons que l’application α : x → θ x soit un isomorphisme du groupe
topologique G sur le groupe topologique
H. Pour tout y ∈ H et x ∈ G,
on a
θ
y (x) = θ(x, y) = α(x), y = x,
α(y),
c’est-à-dire θ y =
α(y). D’après le th. 2 de II, p. 220, l’application
β : y → θ y est donc un isomorphisme du groupe topologique H sur le
groupe topologique
G. Dans ces conditions, nous dirons que θ met G
et H en dualité, ou que G et H sont en dualité relativement à θ. Nous
identifierons alors chacun des groupes G et H au dual de l’autre. On
appellera mesure duale de la mesure de Haar dx la mesure de Haar
TRANSFORMATION DE FOURIER
§ 1
suffit de démontrer que les deux membres de l’égalité sont des fonctions
continues de (f, g) ∈ L 2 (G) × L 2 (G) à valeurs dans C 0 (
G). Or l’application (f, g) → F G (f g) s’obtient en composant l’application continue
(f, g) → f g de L 2 (G) × L 2 (G) dans L 1 (G) et la transformation de Fourier F G de L 1 (G) dans C 0 (
G), qui est également continue. De même,
l’application (f, g) → F G (f ) ∗ F G (g) s’obtient en composant les applications continues (f, g) → (F G (f ), F G (g)) de L 2 (G) × L 2 (G) dans
L 2 (
G) × L 2 (
G) et (h 1 , h 2 ) → h 1 ∗ h 2 de L 2 (
G) × L 2 (
G) dans C 0 (
G)
(INT, VIII, §4, n
o 5, prop. 15).
Remarque. — Voir le n
o 9 et les exercices 22 de II, p. 270 et 31 de
II, p. 275 pour d’autres exemples d’espaces fonctionnels sur lesquels
la transformation de Fourier est un isomorphisme, dans le cas de
groupes G particuliers.
6. Propriétés fonctorielles de la dualité
Soient G et H des groupes localement compacts commutatifs. Rappelons que si ϕ : G → H est un morphisme de groupes topologiques, le
morphisme dual
ϕ :
H →
G est défini par χ, ϕ(x) =
ϕ(χ), x quels
que soient χ ∈
H et x ∈ G. Cette définition montre que
ϕ = ϕ avec
les identifications de G (resp. H) et
G (resp.
H) du théorème 2 de II,
p. 220.
Soit θ une application de G × H dans U. Pour tout x ∈ G (resp.
tout y ∈ H), soit θ x (resp. θ y ) la fonction de G dans U définie par y →
θ(x, y) (resp. la fonction de H dans U définie par x → θ(x, y)). Supposons que l’application α : x → θ x soit un isomorphisme du groupe
topologique G sur le groupe topologique
H. Pour tout y ∈ H et x ∈ G,
on a
θ
y (x) = θ(x, y) = α(x), y = x,
α(y),
c’est-à-dire θ y =
α(y). D’après le th. 2 de II, p. 220, l’application
β : y → θ y est donc un isomorphisme du groupe topologique H sur le
groupe topologique
G. Dans ces conditions, nous dirons que θ met G
et H en dualité, ou que G et H sont en dualité relativement à θ. Nous
identifierons alors chacun des groupes G et H au dual de l’autre. On
appellera mesure duale de la mesure de Haar dx la mesure de Haar