N
o 5
LE THÉORÈME DE DUALITÉ DE PONTRYAGIN
TS II.223
continue à support compact h ∈ K (
G), on a h ∈ L 1 (
G) ∩ L 2 (
G) et
G
f 1 (x)F
G
(h)(x)dx =
G
F
G
(g)(x)F
G
(h)(x)dx
=
G
g(χ)h(χ)d x(χ)
=
G
F G (f )(χ)h(χ)d x(χ) =
G
f (x)F
G
(h)(x)dx
en utilisant le théorème de Plancherel et la formule (31). Puisque
K (
G) est dense dans L 2 (
G), son image par la transformation de Fourier est dense dans L 2 (G). Par conséquent, on a f 1 = f dans L 1 (G) ;
cela démontre que g ∈ B(
G).
La formule f 1 = f signifie que la restriction à B(G) de la composition F
G
◦ F G est l’application identique de B(G). En échangeant les
rôles de G et
G, on constate que F G ◦ F
G
est l’application identique
de B(
G), ce qui achève la preuve du théorème.
Corollaire 1. — Soit f ∈ L 1 (G). Alors f ∈ B(G) si et seulement si
f appartient à l’image de la transformation de Fourier F
G
sur L 1 (
G).
En particulier, on a A(G) ⊂ B(G).
Le théorème 3 prouve que si f ∈ B(G), alors f = F
G
(F G (f )),
où F G (f ) appartient à L 1 (
G). Réciproquement, si f = F
G
(g), où
g ∈ L 1 (
G), alors on a g ∈ B(
G) et donc f ∈ B(G) d’après le théorème.
La dernière assertion résulte alors de la prop. 11 de II, p. 217.
Corollaire 2. — L’espace vectoriel B(G) est une algèbre à la fois
pour la multiplication et pour la convolution. La transformation de
Fourier échange convolution et multiplication dans B(G) et B(
G).
On a déjà vu que B(G) est une sous-algèbre de L 1 (G). D’autre part,
si f et g appartiennent à B(G), alors f g ∈ L 1 (G) puisque f ∈ L 1 (G)
et g appartient à l’image de la transformation de Fourier sur L 1 (
G)
(corollaire 1). Comme il existe f 1 et g 1 dans L 1 (
G) telles que f =
F
G
(f 1 ) et g = F
G
(g 1 ) (loc. cit.), on a f g = F
G
(f 1 ∗ g 1 ), et donc
f g ∈ B(G) de nouveau par le corollaire précédent.
Proposition 14. — Soient f et g dans L 2 (G). Alors F G (f g) =
F G (f ) ∗ F G (g).
L’égalité est vraie si f et g appartiennent à B(G) (corollaire 2), et
en particulier si f et g appartiennent à A(G) puisque A(G) ⊂ B(G)
(cor. 1). Comme A(G) est dense dans L 2 (G) (cor. 1 de II, p. 212), il
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LE THÉORÈME DE DUALITÉ DE PONTRYAGIN
TS II.223
continue à support compact h ∈ K (
G), on a h ∈ L 1 (
G) ∩ L 2 (
G) et
G
f 1 (x)F
G
(h)(x)dx =
G
F
G
(g)(x)F
G
(h)(x)dx
=
G
g(χ)h(χ)d x(χ)
=
G
F G (f )(χ)h(χ)d x(χ) =
G
f (x)F
G
(h)(x)dx
en utilisant le théorème de Plancherel et la formule (31). Puisque
K (
G) est dense dans L 2 (
G), son image par la transformation de Fourier est dense dans L 2 (G). Par conséquent, on a f 1 = f dans L 1 (G) ;
cela démontre que g ∈ B(
G).
La formule f 1 = f signifie que la restriction à B(G) de la composition F
G
◦ F G est l’application identique de B(G). En échangeant les
rôles de G et
G, on constate que F G ◦ F
G
est l’application identique
de B(
G), ce qui achève la preuve du théorème.
Corollaire 1. — Soit f ∈ L 1 (G). Alors f ∈ B(G) si et seulement si
f appartient à l’image de la transformation de Fourier F
G
sur L 1 (
G).
En particulier, on a A(G) ⊂ B(G).
Le théorème 3 prouve que si f ∈ B(G), alors f = F
G
(F G (f )),
où F G (f ) appartient à L 1 (
G). Réciproquement, si f = F
G
(g), où
g ∈ L 1 (
G), alors on a g ∈ B(
G) et donc f ∈ B(G) d’après le théorème.
La dernière assertion résulte alors de la prop. 11 de II, p. 217.
Corollaire 2. — L’espace vectoriel B(G) est une algèbre à la fois
pour la multiplication et pour la convolution. La transformation de
Fourier échange convolution et multiplication dans B(G) et B(
G).
On a déjà vu que B(G) est une sous-algèbre de L 1 (G). D’autre part,
si f et g appartiennent à B(G), alors f g ∈ L 1 (G) puisque f ∈ L 1 (G)
et g appartient à l’image de la transformation de Fourier sur L 1 (
G)
(corollaire 1). Comme il existe f 1 et g 1 dans L 1 (
G) telles que f =
F
G
(f 1 ) et g = F
G
(g 1 ) (loc. cit.), on a f g = F
G
(f 1 ∗ g 1 ), et donc
f g ∈ B(G) de nouveau par le corollaire précédent.
Proposition 14. — Soient f et g dans L 2 (G). Alors F G (f g) =
F G (f ) ∗ F G (g).
L’égalité est vraie si f et g appartiennent à B(G) (corollaire 2), et
en particulier si f et g appartiennent à A(G) puisque A(G) ⊂ B(G)
(cor. 1). Comme A(G) est dense dans L 2 (G) (cor. 1 de II, p. 212), il