TS II.222
TRANSFORMATION DE FOURIER
§ 1
La formule (30) implique la formule (31) en évaluant les deux côtés
de l’identité en χ = 1. Démontrons (30). Soit χ ∈
G. Il vient
(F G (F
G
(β) · α))(χ) =
G
χ, x F
G
(β)(x)dα(x)
=
G
χ, x
G
ξ, xdβ(ξ)
dα(x).
La fonction (x, ξ) → χ, xξ, x est continue et bornée, donc intégrable
sur G ×
G par rapport à la mesure α ⊗ β. D’après le théorème de
Lebesgue-Fubini (INT, V, §8, n
o 4, th. 1, a)), on obtient
(F G (F
G
(β) · α))(χ) =
G
G
χξ −1 , xdα(x)
dβ(ξ)
=
G
F G (α)(χξ
−1 )dβ(ξ) = (β ∗ F G (α))(χ),
comme désiré.
Corollaire. — La transformation de Fourier F G est injective sur
M 1 (G).
En effet, si α ∈ M 1 (G) vérifie F G (α) = 0, on déduit de (31) que
α(F
G
(f )) = 0 pour toute f ∈ L 1 (
G) ; comme l’image de L 1 (
G) par la
transformation de Fourier est dense dans C 0 (G) (cor. de la prop. 5 de
II, p. 209), on a donc α = 0.
Il existe des espaces fonctionnels sur G et
G, autres que L 2 (G)
et L 2 (
G), sur lesquels F et F sont des isomorphismes inverses l’un de
l’autre. Le théorème suivant en donne un exemple. On note B(G) le
sous-espace vectoriel de L 1 (G) formé des éléments f ∈ L 1 (G) tels que
F G (f ) ∈ L 1 (
G). C’est une sous-algèbre de L 1 (G). En effet, soient f et g
dans B(G). On a f ∗ g ∈ L 1 (G) et F G (f ∗ g) = F G (f )F G (g) ∈ L 1 (
G),
puisque F G (f ) ∈ L 1 (
G) et F G (g) ∈ C 0 (
G).
Théorème 3. — La restriction de la transformation de Fourier
à B(G) induit un isomorphisme d’espaces vectoriels de B(G) sur B(
G),
dont la réciproque est induite par la restriction à B(
G) de la cotransformation de Fourier.
Soit f ∈ B(G). Notons g = F G (f ). On a g ∈ L 1 (
G) ∩ C 0 (
G) ⊂
L 1 (
G) ∩ L 2 (
G). Posons f 1 = F
G
(g) ∈ L 2 (G). Pour toute fonction
TRANSFORMATION DE FOURIER
§ 1
La formule (30) implique la formule (31) en évaluant les deux côtés
de l’identité en χ = 1. Démontrons (30). Soit χ ∈
G. Il vient
(F G (F
G
(β) · α))(χ) =
G
χ, x F
G
(β)(x)dα(x)
=
G
χ, x
G
ξ, xdβ(ξ)
dα(x).
La fonction (x, ξ) → χ, xξ, x est continue et bornée, donc intégrable
sur G ×
G par rapport à la mesure α ⊗ β. D’après le théorème de
Lebesgue-Fubini (INT, V, §8, n
o 4, th. 1, a)), on obtient
(F G (F
G
(β) · α))(χ) =
G
G
χξ −1 , xdα(x)
dβ(ξ)
=
G
F G (α)(χξ
−1 )dβ(ξ) = (β ∗ F G (α))(χ),
comme désiré.
Corollaire. — La transformation de Fourier F G est injective sur
M 1 (G).
En effet, si α ∈ M 1 (G) vérifie F G (α) = 0, on déduit de (31) que
α(F
G
(f )) = 0 pour toute f ∈ L 1 (
G) ; comme l’image de L 1 (
G) par la
transformation de Fourier est dense dans C 0 (G) (cor. de la prop. 5 de
II, p. 209), on a donc α = 0.
Il existe des espaces fonctionnels sur G et
G, autres que L 2 (G)
et L 2 (
G), sur lesquels F et F sont des isomorphismes inverses l’un de
l’autre. Le théorème suivant en donne un exemple. On note B(G) le
sous-espace vectoriel de L 1 (G) formé des éléments f ∈ L 1 (G) tels que
F G (f ) ∈ L 1 (
G). C’est une sous-algèbre de L 1 (G). En effet, soient f et g
dans B(G). On a f ∗ g ∈ L 1 (G) et F G (f ∗ g) = F G (f )F G (g) ∈ L 1 (
G),
puisque F G (f ) ∈ L 1 (
G) et F G (g) ∈ C 0 (
G).
Théorème 3. — La restriction de la transformation de Fourier
à B(G) induit un isomorphisme d’espaces vectoriels de B(G) sur B(
G),
dont la réciproque est induite par la restriction à B(
G) de la cotransformation de Fourier.
Soit f ∈ B(G). Notons g = F G (f ). On a g ∈ L 1 (
G) ∩ C 0 (
G) ⊂
L 1 (
G) ∩ L 2 (
G). Posons f 1 = F
G
(g) ∈ L 2 (G). Pour toute fonction